Folgerungen aus einem Gegeben Integral zeigen/widerlegen.

Question

ich habe hier ein paar Probleme und komme nicht weiter, stimmen meine Lösungen zu 1 und 2? Und könnte mir Jemand mit der 3 und 4 Helfen?

$$Es\quad sei\quad f:[a,b]\quad \to \quad R,\quad a<b.\quad eine\quad stetige\quad Funktion\quad und\quad es\quad gilt\\ \int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } =0.\\ Zeigen/widerlegen\quad Sie\quad die\quad folgen\quad Aussagen.\\ 1)\quad Es\quad gilt\quad f(x)=0\quad für\quad alle\quad x\in [a,b].\\ 2)\quad Es\quad gilt\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } \quad =\quad \int _{ b }^{ a }{ f(x)dx } .\\ c)\quad Es\quad gilt\quad \int _{ a }^{ b }{ { f }^{ 2 }(x)dx } =0\\ d)\quad Es\quad existiert\quad ein\quad ξ\in [a,b]\quad mit\quad f(ξ)=0.\\ \\ Meine\quad Lösung:\\ 1)\quad Falsch,\quad denn\quad \int _{ -1 }^{ 1 }{ xdx } =\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } =0,\quad aber\quad f(1)=1.\\ b)\quad Falsch,\quad denn\int _{ -1 }^{ 1 }{ xdx } =\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } =0,\quad aber\quad \int _{ -1 }^{ 1 }{ xdx } =\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } =0\neq -1-\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } =\int _{ -1 }^{ 1 }{ xdx } \\ c)\quad Hilfe\quad benötigt.\quad \\ d)\quad Könnte\quad was\quad mit\quad dem\quad MWS\quad zu\quad tun\quad haben?$$

LG
Simon

Answer 1

1) hast du korrekt gelöst.

2) Ist \(F'(x)=f(x)\), dann ist

    \(\begin{aligned} & \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\\ =\,& F(b) - F(a)\\ =\,& -\left(F(a)-F(b)\right)\\ =\,& -\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x\\ \end{aligned}\)

Welche Konsequenzen hat das wohl, wenn \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = 0\) ist?

c) Wenn f(x) = x ist, dann ist f²(x) = x².

d) Gäbe es kein solches ξ, dann wäre wegen Stetigkeit f(x) > 0 für alle x ∈ [a,b] oder f(x) < 0 für alle x ∈ [a,b].

Sei o.B.d.A. f(x) > 0 für alle x ∈ [a,b]. Dann gibt es eine positive Untersumme. Das Integral ist mindestens so groß wie die Untersumme. Das ist ein Widerspruch zu \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = 0\).

Und könnte mir Jemand mit der 3 und 4 Helfen?

Habe ich leider nicht gefunden. Es tut mir Leid, dass ich dir nicht weiterhelfen konnte.