Aus nicht orthonormalen Vektoren eine Orthonormalbasis erzeugen

Question

Aufgabe:

Es seien v1 = \( \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} \) , v2 = \( \begin{pmatrix} 2\\-2\\2 \end{pmatrix} \) , und v3 =\( \begin{pmatrix} 2\\-2\\-4 \end{pmatrix} \) . .
Ist die  Menge {v1, v2, v3} eine  Orthonormalbasis  des R³. Falls  nein,  wie lässt  sich  aus  der  Menge {v1, v2, v3} eine Orthonormalbasis des R³ erzeugen?

Problem/Ansatz:

Vorausssetzung für die Orthonormalbasis ist, dass die Vektoren orthogonal und orthonormal sind. Jetzt sind die Vektoren zwar orthogonal, aber leider nicht orthonormal. Das Gramer-Schmidtsche-Verfahren lässt sich ja nicht anwenden, wenn die Vektoren nicht orthonormal sind.

Ein anderer Ansatz wäre, einen vierten Vektor ins Spiel zu bringen und somit die Aufgabe dahingehend zu manipulieren, dass die Vektoren orthonal wären. Aber auch das geht nicht, weil ja explizit von der Menge {v1, v2, v3}  die Rede ist.

Daher leider kein Ansatz. SORRY :(

Comments

v₂ und v₃ sind nicht orthogonal.

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v2 und v3 sind nicht orthogonal. Du müsstest also nur v1 und v2 normieren und v3 neu aufstellen. Dafür könntest du doch das Gram-Schmidt-Verfahren nutzen oder nicht?

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Gram-Schmidt-Verfahren

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v2 und v3 sind definitiv orthogonal.

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v₂ ist verändert worden.

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Klar. Wenn man nachträglich die Aufgabe bearbeitet dann können v2 und v3 orthogonal sein.

Am besten schreibst du aber gleich die richtige Aufgabe hin.

Wenn alle Vektoren jetzt orthogonal sind, was hindert dich daran alle Vektoren zu normieren?

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Die normierten Vektoren sind dann nicht mehr orthogonal

\( \frac{1}{\sqrt{8}} \) * v1 = \( \sqrt{2} \) und nicht 0.

\( \frac{1}{\sqrt{12}} \) * v2 = \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) und nicht 0.

\( \frac{1}{\sqrt{24}} \) * v2 = - \( \frac{\sqrt{6}}{3} \) und nicht 0.

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Ein Vektor wird normiert, indem er mit dem Kehrwert seiner Länge (skalar) multipliziert wird. Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren sind zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt. Was du gemacht hast, hat weder mit dem einen noch mit dem anderen etwas zu tun.

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Die folgende Darstellung soll zur Klärung beitragen:

Die Länge von v1 ist: \( \sqrt{2² + 2²} \) = \( \sqrt{8} \)

D.h. der Vektor v1 wird nomiert mit \( \frac{1}{\sqrt{8}} \) 

\( \frac{1}{\sqrt{8}} \)  * \( \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} \)

=  \( \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\\0 \end{pmatrix} \)

Die Länge von v2 ist: \( \sqrt{2² + -2² + 2²} \) = \( \sqrt{12} \)

D.h. der Vektor v2 wird nomiert mit \( \frac{1}{\sqrt{12}} \)

\( \frac{1}{\sqrt{12}} \)  * \( \begin{pmatrix} 2\\-2\\2 \end{pmatrix} \)

=  \( \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{-\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix} \)

Das Skalarprodukt von den nomierten Vektoren ist 0. Die Vektoren selbst haben jetzt die Länge 1.

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(1) Es muss no"R"miert heißen.

(2) Es muss \((-2)^2\) heißen und nicht \(-2^2\).

(3)

Das Skalarprodukt von den normierten Vektoren ist 0. Die Vektoren selbst haben jetzt die Länge 1.

Aber das sollte doch auch so sein, oder?

Answer 1

Voraussetzung für die Orthonormalbasis ist, dass die Vektoren orthogonal und orthonormal sind. Jetzt sind die Vektoren zwar orthogonal , aber leider nicht orthonormal.

Na das ist doch prima, musst du nur noch normieren, also auf die Länge 1 bringen.

v1 hat die Länge √(2^2 + 2^2 + 0^2) = √8 , also bildest du

w1 = ( 1 /  √8  )*v1 .

v2 ist dazu orthogonal also nur noch Länge anpassen gibt  w2 = ( 1 /  √12  )*v2 .

v3 ist orthogonal zu v1 und  zu v2. Also  Länge anpassen gibt  w3 = ( 1 /  √24  )*v3 .

Also ist ein ON-Basis    ( 1 /  √8  )*v1 ,  ( 1 /  √8  )*v2  und   ( 1 /  √24  )*v3 .

Comments

Die normierten Vektoren sind dann nicht mehr orthogonal. Und auch nicht orthonormal.

\( \frac{1}{\sqrt{8}} \) * v1 = \( \sqrt{2} \) und nicht 0 oder 1.

\( \frac{1}{\sqrt{12}} \) * v2 = \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) und nicht 0 oder 1


\( \frac{1}{\sqrt{24}} \) * v2 = - \( \frac{\sqrt{6}}{3} \) und nicht 0 oder 1

Zudem hat v2 die Länge \( \sqrt{12} \) und nicht \( \sqrt{8} \).

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v1 und v2 ( sah der nicht vorher anders aus ? ) sind wohl orthogonal:

Du rechnest v1*v2 = 2*2 + 2*(-2) + 0*2 = 4 - 4 + 0 = 0 .

Und nach dem Normieren sind sie es immer noch.

\( w1 = \frac{1}{\sqrt{8}} \) * v1 und  \( w2 = \frac{1}{\sqrt{12}} \) * v2

Und es ist v1*v3 = 2*2 +  2*(-2) +   0*(-4) = 0

und  v2 * v3 =  2*2 +  (-2)*(-2) +   2*(-4) = 0

Also ist v3 zu den beiden ersten orthogonal und muss

nur noch normiert werden   \( w3 = \frac{1}{\sqrt{24}} \) * v3.

Und w1, w2 , w3 bilden eine ON-Basis.