Bestimme alle maximalen linear unabhängigen Teilmengen von Vektoren

Question

Aufgabe:

Bestimme alle maximalen linear unabhängigen Teilmengen der folgenden Menge von Vektoren:

$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2\\-4\\2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\-5\\2 \end{pmatrix} \right\} $$

Problem/Ansatz:

Welche Schritte muss "durchgehen" um diese Aufgabe zu berechnen? Wie mache ich das?

Answer 1

Die einelementigen Teilmengen sind alle lin. unabh.

weil der Nullvektor nicht dabei ist.

Zweielementige sind lin. abh.

wenn einer ein Vielfaches vom anderen ist.

Das ist hier beim 1. und 3. der Fall.

Also ist die Teilmenge { v1; v3 } lin. abh.

alle anderen 2-elementigen nicht.

Und damit auch jede 3-elementige, die { v1; v3 }

enthält.

Bleibt zu prüfen  v1;v2,v4

                         v1;v2,v5

                           v1;v4;v5

    aber  v2;v3;v4 und v2;v3;v4 nicht, die

liefern das gleiche Ergebnis wie

v1;v2,v4                         v1;v2,v5

da ja nur v1 durch sein Vielfaches v3 ersetzt ist.

Also prüfen ( z:B. mit der Determinate):

det(v1;v2,v4 ) = 0, also lin. abh. 
außerdem gilt ja auch v1 + v4 = v2
det(  v1;v2,v5  ) = 0 und
auch -3v1+v2=v5 also lin. abh.

   det(  v1;v4;v5) = 0 , also auch  lin. abh.

Es gibt also keine lin. unabh.

Teilmengen mit mehr als 2 Elementen.

Comments

Hi, danke für die ausführliche Erklärung.

Ich habe das nochmal nachgerechnet.

Für {v1;v4;v5} bekomme ich 0 für die Determinante raus. Heißt das also, es gibt bei den 3 elementigen Teilmengen keine linear unabhängigen.

Dann sind die zweielementigen außer {v1;v3} linear unabhängig, richtig?

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Hast recht, ich habe jetzt bei der Det. auch 0 raus. Es gibt also keine 3-elementigen lin. unabh. Teilmengen. Ich korrigiere das oben für spätere Leser.

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Also sind nur diese linear unabhängig?

v1;v2
v1;v4
v1;v5
v2;v4
v2;v5
v4;v5

Answer 2

Hallo

 zuerst feststellen ob 2 Vektoren proportional sind. man sieht direkt 1 und 3 v3=-2*v1, also  musst du v3 nicht einzeln untersuchen, dann untersuchen ob v1v2v4 dann v1v2v5 ,v1v4v5 v2v4v5 linear unabhängig sind.  du machst das indem du sie in eine Matrix aus 3 Zeilen schreibst, und feststellst ob man sie ohne 0 Zeile aus Dreiecksform brings, am Ende kannst du für die maximalen immer noch v1 durch v3 ersetzen.

je 2 die nicht proportional sind sind immer Lin. unabhängig,

Gruß lul

Comments

Stimmt, v2;v4;v5 hatte ich nicht berücksichtigt. Da kommt auch 0 raus. Also gibt es für 3 elementige Teilmengen keine linear unabhängigen.