{v+w, v-2w, 2v-w} gegeben, wie berechne ich die Teilemnge und ob sie linear unabhängig sind?
Aus 2 Vektoren kann man nicht 3 linear unabhängige basteln, da 2 Vektoren nicht mehr als eine Ebene aufspannen können.
Annahme oEdA v und w sind lin unabh.
Formal
a(v+w) + b(v-2w) = 2v - w
(a+b-2)v + (a-2b+1)w = 0
a+b - 2 = 0
a-2b + 1 = 0
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3b - 3 = 0
b= 1, a = 1
Kontrolle v+w + v -2w = 2v -w stimmt. Die 3 Vektoren sind lin. abh. qed.
Bei 2. ist zu zeigen, dass die 3 Vektoren lin. unabh. sind. Dann kannst du sagen, dass sie eine Basis des R^3 bilden, wenn du schon weisst, dass R^3 die Dimension 3 hat.
w1:= 3v1+v2+2v3 w2:=v1+v2+v3 w3:= v1+v2+2v3
312 111 112
Determinante
31231 11111 11211
6+1+2 - (2+ 3+ 2) = 9-7 = 2 ≠0
==> w1,w2,w3 ist eine Basis, wenn v1,v2,v3 eine Basis war.
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