Affine Unterräume: Beweisen, dass M ⊆ N gilt.

Question

Aufgabe:

Es sei V ein Vektorraum. Seien U, W ⊆ V Untervektorräume und seien x, y ∈ V . Wir betrachten die affinen Unterräume            M = x + U und N = y + W. Zeigen Sie:

1) Es gilt M ⊆ N genau dann, wenn x − y ∈ W und U ⊆ W gelten.
2) Es gilt M = N genau dann, wenn x − y ∈ W und U = W gelten.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ein affiner Unterraum U von Vektorraum V eine Teilmenge der Form v + U := {v + u | u ∈ U} = {w ∈ V | w − v ∈ U}

ist und bei Aufgabe 1) ist mir auch klar warum M ⊆ N gilt, wenn U ⊆ W gilt, weil U eine Teilmenge von M und W eine Teilmenge von N ist. Jedoch kann ich mir nicht erklären, warum x - y ∈ W gelten muss. Zudem bin ich mir nicht sicher, wie ich schriftlich zeigen soll, dass M ⊆ N gilt.

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Magnus Weber

Answer 1

Vor.: M = x + U und N = y + W.

M ⊆ N

<=>  x + U    ⊆  y + W.

<=> Für alle z ∈  x + U  ==>  z ∈   y+ W

<=> Für alle u ∈ U gilt   x + u   ∈   y+ W

<=> Für alle u ∈ U gibt es ein w ∈ W mit   x + u  = y+ w

<=> Für alle u ∈ U gibt es ein w ∈ W mit   x - y =  w - u

Also gibt es insbesondere für u=0 ein w ∈ W mit   x - y =  w

also x-y ∈ W.  Wegen   x - y =  w - u gilt auch

                     u =      w -  ( x - y)   also u als Differenz zweier

Elemente von W auch in W

    =>       x − y ∈ W und U ⊆ W.

Sei umgekehrt     x − y ∈ W und U ⊆ W. und

                             z  ∈  x + U.

==>   Es gibt u aus U mit  z = x+u.

Wegen U ⊆ W also auch z   ∈  x + W

               ==>       z - x ∈ W

also auch     x − y  +    z - x  als Summe zweier El. von W selbst auch

im W , also     - y + z ∈ W ==>    z ∈ y + W          q.e.d.