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Injektiv, Surjektiv, und Bijektiv
Die Beurteilung, ob eine Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist, hängt stark von den gewählten Definitionsbereichen \(A\) und Zielsbereichen \(B\) der Funktion ab. Hier betrachten wir die Funktion
\(
f: A \rightarrow B, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}
x & : x \geq 0 \\
-\frac{1}{2} x & : x < 0
\end{array}\right.
\)
für die verschiedenen gegebenen Intervallkombinationen.
a) \(A:=[0,1]\) und \(B:=[0,1]\)
In diesem Fall ist \(f\) injektiv, weil im gegebenen Intervall \(A\) die Funktion \(f(x) = x\) für alle \(x\) gilt, und daher eindeutige \(x\)-Werte zu eindeutigen \(y\)-Werten führen. Kein \(x\)-Wert wird auf mehr als einen \(y\)-Wert abgebildet, da die Funktion in diesem Bereich monoton steigend ist.
Die Funktion ist auch surjektiv, da jeder Wert von \(B\) als Funktionswert angenommen wird. Das heißt, für jedes \(y \in [0,1]\) existiert ein \(x \in [0,1]\), sodass \(f(x) = y\).
Da \(f\) sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist sie bijektiv.
b) \(A:=[0,1]\) und \(B:=[-1,1]\)
Hier bleibt \(f\) injektiv aus denselben Gründen wie in a). Die Funktion bildet \(x\)-Werte eindeutig auf \(y\)-Werte ab, da sie im Bereich von \(A\) monoton ist.
Die Funktion ist jedoch nicht surjektiv. Obwohl \(f(A) = [0,1] \subset B\), gibt es Elemente in \(B\), speziell die negativen Zahlen \([-1,0)\), die nicht als Bild unter \(f\) auftauchen, da \(f\) im gegebenen Definitionsbereich \(A\) nur positive Werte annimmt.
c) \(A:=[-1,1]\) und \(B:=[0,1]\)
In diesem Fall ist \(f\) injektiv, weil es für jedes \(y\) aus \(B\) genau ein korrespondierendes \(x\) aus \(A\) gibt. Für negative \(x\)-Werte wird durch \(-\frac{1}{2}x\) sichergestellt, dass keine zwei verschiedenen \(x\)-Werte denselben \(y\)-Wert ergeben.
\(f\) ist auch surjektiv, da \(f(A)\) das gesamte Intervall \(B\) abdeckt. Für jeden Wert in \(B\) gibt es einen entsprechenden Wert in \(A\), der entweder direkt (\(x \geq 0\)) oder halbiert und negiert (\(x < 0\)) darauf abgebildet wird.
In diesem Fall ist \(f\) zugleich injektiv und surjektiv, also bijektiv.
d) \(A:=[-1,1]\) und \(B:=[-1,1]\)
Für den Fall \(d\) ist \(f\) injektiv, da kein \(x\)-Wert auf zwei verschiedene \(y\)-Werte abgebildet wird. Die Funktion behandelt positive und negative \(x\)-Werte separat, stellt aber sicher, dass jedes \(y\) eindeutig einem \(x\) entspricht.
Die Funktion ist auch surjektiv. Unter Einbeziehung negativer \(x\)-Werte durch \(-\frac{1}{2}x\) für \(x < 0\) werden negative \(y\)-Werte erzeugt, welche den negativen Teil von \(B\) abdecken. Der positive \(x\)-Bereich \(x \geq 0\) deckt den positiven Bereich von \(B\) ab.
Also ist \(f\) in diesem Fall ebenfalls bijektiv.
Zusammenfassung:
Die Bijektivität der Funktion hängt wesentlich von den Intervallen \(A\) und \(B\) ab. Es ist nicht korrekt zu behaupten, dass \(f\) unabhängig von der Wahl von \(A\) und \(B\) immer bijektiv ist. Jede Kombination von Intervallen muss einzeln auf Injektivität und Surjektivität untersucht werden, um zu bestimmen, ob \(f\) bijektiv ist.
