f(x) = cos(x)e^x integrieren und Integralgleichung lösen

Question

Ich habe dieses Integral:

$$\int_{0}^{2 \pi} \cos (x) \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x$$

und möchte das lösen nur komme ich nicht auf die lösung drauf.

Als ich das im Integralrechner eingegeben habe, kam ich auf einen Schritt gar nicht klar. Irgendwie verstehe ich diesen Schritt nicht:


Könnte mir das jemand erklären?

Comments

Die linke Seite der Gleichung bleibt beim Integralrechner oben. Und da du auf beiden Seiten den gleichen Term hast, kannst du subtrahieren, wodurch sich diese eliminieren.

Answer 1

Du mußt das Integral 2 x partiell integrieren.

Wenn Du weiter integrieren würdest, würdest Du NIE fertig werden. Deshalb macht man einen kleinen "Trick", weil man ja nach der 2 partiellen Integration wieder das Ausgangsintegral auf der rechten Seite erhält.Man addiert auf beiden Seiten das gegebene Integral und teilt durch 2 und ist dann mit der Integration fertig.

Comments

Ah so ist das also... Vielen dank für die Hilfe! ich habe die partielle Integration gemacht aber wusste nie warum das auf einmal alles durch 2 ist und der eine Integral aufeinmal verschwindet.

Naja vielen Dank nochmal.

Answer 2

Wende partielle Integration mit u'=e^x und v=cos(x) an.

Dann erhältst du  ∫e^x·cos(x).= cos(x)·e^x+∫e^x·sin(x).

Berechne ∫e^x·sin(x).wieder mit partieller Integration und setze ein.

Dann hast du ∫e^x·cos(x).auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

Dann kann man nach ∫e^x·cos(x).auflösen.

Answer 3

Ich beantworte das kurz.

Wenn du Funktionen integrieren möchtest, musst du wie beim Differenzieren (ableiten) verschiedene Regeln beachten. Bei Summen und Differenzen ist das kein Problem, aber bei einer Multiplikation von 2 Funktionen, nennen wir sie u und v, wird es schon etwas schwieriger.

Bei der Ableitung hätten wir die Produktregel: u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)

Jetzt geht's aber ums Integrieren, also die Produktregel vice-versa.

Das nennt man dan Partielle Integration bzw. Produktintegration.

Schau dir die Regel kurz bei Wikipedia oder dergleichen an.

Dann noch einen Tipp (nach Wiki): sin, cos, e Funktionen eignen sich zum Integrieren, Polynome wie beispielsweise 5x² eignen sich eher zum Differenzieren. Bei deinem Beispiel ist es eher ein Luxusproblem, welche Funktion du als u und welche als v setzt.

Wenn du Schwierigkeiten beim Merken hast, schau auf YouTube bei DorFuchs vorbei, der hat ein paar Songs die schnell ins Ohr gehen.

Grüße

Felix

Answer 4

Gerne helfe ich dir weiter, also:

Ich mache das jetzt mal für das unbestimmte integral, sobald du die Stammfunktion hast (die ich hier gleich herleite) musst du dann ja nur noch deine Grenzen einsetzen.

$$\int \cos(x)\cdot e^{x}$$

Partielle Integration ist der Ansatz:

$$f' = e^x \quad f = e^x $$

$$g=cos(x) \quad g'=-sin(x) $$

Hinweis: Ich habe extra und bewusst f'=e^x gewählt, weil das besonders leicht zu integrieren war...

$$ fg-\int fg' $$

$$cos(x)e^x-\int -sin(x)e^x$$

Jetzt darf ich die PI nochmal anwenden:

$$f' =e^x \quad f=e^x$$

$$ g= -sin(x)\quad g'=-cos(x)$$

$$ fg-\int fg' $$

$$-sin(x)e^x -\int -cos(x)e^x$$

Bisher also:

$$\int \cos(x)\cdot e^{x}=cos(x)e^x-\int -sin(x)e^x$$

mit der zweiten PI also:

$$\int \cos(x)\cdot e^{x}=cos(x)e^x-\left(-sin(x)e^x -\int -cos(x)e^x\right)$$

$$\int \cos(x)\cdot e^{x}=cos(x)e^x-\left(-sin(x)e^x +\int cos(x)e^x\right)$$

$$\int \cos(x)\cdot e^{x}=cos(x)e^x+sin(x)e^x -\int cos(x)e^x$$

Das letzte ist jetzt eine einfach Gleichung die man umstellen kann:

$$\int \cos(x)\cdot e^{x}=cos(x)e^x+sin(x)e^x -\int cos(x)e^x +|\int cos(x)e^x$$

$$2\int \cos(x)\cdot e^{x}=cos(x)e^x+sin(x)e^x -\int cos(x)e^x +|:2$$

$$\int \cos(x)\cdot e^{x}=\frac{cos(x)e^x+sin(x)e^x}{2} $$

Fertig!

Hope this helps!

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