Dimensionsformel und K-lineare Abbildung

Question

Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und U,W zwei Unterräume von V . Betrachten Sie die Abbildung

f : U ×W → V, (a,b) → a−b.

1) Zeigen Sie, dass f eine K-lineare Abbildung ist, wenn man U ×W mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation als K-Vektorraum auffasst.

2) Berechnen Sie dimK(U ×W).

3) Wenden Sie die Dimensionsformel für lineare Abbildungen auf f an und folgern Sie: dimKU + dimKW = dimK(U + W + dimK(U ∩W).

Meine Lösung für Aufgabe 1 ist:

f(λ*(a,b) = f(λa,λb) = λa -λb= λ*(a-b)=λ*f(a,b)

f((a,b)+(c,d)) = f(a+c,b+d) = a+c-b-d = a-b+c-d=f(a,b)+f(c,d)

Ist das so richtig? Für Aufgabe 2 und 3 habe ich als Ansatz nur die Dimensionsformel, ich weiß jedoch nicht so recht wie ich die anwenden kann. Es wäre sehr nett wenn jemand 2 und 3 lösen und erklären könnte

Answer 1

1) ist richtig.

2) Sei B_U∩W = {b₁, ..., b_n} eine Basis  von U∩W. Ergänze B_U∩W zu einer Basis B_U von U. Ergänze B_U∩W zu einer Basis B_W von W. Zeige, dass B_U×B_W ein Erzeugendensystem von U×W ist.

Entferne aus B_U×B_W die Vektoren aus B_U∩W ×B_U∩W.

dimKU + dimKW = dimK(U + W + dimK(U ∩W)

Das kann ich nicht entziffern.

Comments

Okay erst einmal, danke für die Antwort. Ich glaub 2 hab ich damit nach längeren ausprobieren geschafft (:

Bei 3) meinte ich dimK(U) + dimK(W) = dimK(U + W) + dimK(U ∩W)