Zeigen sie das F eine Algebra ist.

Question

Definition: Eine Mengenfamilie F ⊆ P(Ω) nennt man eine Algebra auf Ω, wenn sie
abgeschlosssen gegen endliche Vereinigungen und Komplementbildung ist.

a) Sei Ω = N und F die Menge aller endlichen Teilmengen von N und deren Komple-
mente. Zeigen Sie, dass F eine Algebra ist.

Answer 1

F ist offensichtlich, da definitionsgemäß, abgeschlossen bezüglich Komplementbildung. Zu zeigen bleibt die Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung.

Seien dazu A und B zwei endliche Teilmengen von N. A^C und B^C sind definitionsgemäß in N. Da A ∪ B endlich ist, liegt es in F. Definitionsgemäß liegt nun aber auch das Komplement (A ∪ B)^C in F.

Sei nun A endliche Teilmenge von N und B^C das Komplement einer endlichen Teilmenge von N. Dann ist A ∪ B^C eine Teilmenge von N, deren Komplement, da es endlich ist, wieder in F liegt.

MfG

Mister