Sei \( \mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) die kleinste \( \sigma \)-Algebra, die alle Mengen der Form \( I_{1} \times I_{2} \) für Intervalle \( I_{1}, I_{2} \subseteq \mathbb{R} \) enthält.
(i) Zeigen Sie, dass \( \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}<1\right\} \in \mathcal{B} \) gilt.
(ii) Zeigen Sie, dass \( \mathcal{B} \) alle offene und alle abgeschlossenen Teilmengen von \( \mathbb{R}^{2} \) (bzgl. der euklidischen Topologie) enthält.
B ist doch einfach die Borelsche-Sigma-Algebra und dann würden die 2 Punkte automatisch folgen oder übersehe ich da etwas?
