Borelsche sigma- Algebra

Question

Aufgabe:

Wir beschäftigen uns derzeit mit der Borelschen sigma- Algebra, jedoch ist mir noch nicht klar, wozu ich diese in der Stochastik verwende?

Answer 1

Das klassische Maßproblem ist unlösbar.

Das heißt es gibt keine Abbildung \(V:\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^n\right)\to \mathbb{R}\), so dass \(V\) die Eigenschaften hat, die man haben möchte, wenn \(V(M)\) das Volumen von \(M\) sein soll.

Wahrscheinlichkeiten verhalten sich ähnlich wie Volumina:

1. Sie sind nicht negativ.
2. Sie können addiert werden, wenn die Vereinigung von abzählbar vielen paaerweise disjunkten Mengen betrachtet wird.
   
3. Es gibt eine Menge, die nicht auf 0 abgebildet wird.
   

Deshalb bildet die Maßtheorie (die sich mit der Bestimmung von Volumina beschäftigt) die Grundlage der Stochastik

Die Lösung des Maßproblems besteht nun darin, nicht jeder Teilmenge des \(\mathbb{R}^n\) ein Maß zuzuordnen. Es wurde bewiesen, dass das Maßproblem lösbar ist, wenn nur den Mengen der borelschen \(\sigma\)-Algebra ein Maß zugeordnet wird.

Mehr dazu gibt's in folgendem Video oder in Analysis 3. https://www.youtube.com/watch?v=SJ8YoV6YZFA

Comments

Es gibt eine Menge, die nicht auf 0 abgebildet wird.

Was soll man sich darunter vorstellen? Was heißt auf 0 abbilden?

Welche praktische Relevanz hat diese Materie?

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Wenn jeder Körper das Volumen 0 hat, dann ist Volumenberechnung recht unergiebig. Es sollte deshalb einen Körper geben, der nicht das Volumen 0 hat.

Answer 2

Der Grundgedanke ist recht primitiv:

Du hast in der Stochastik einen Ausgangsraum, z. B. \( \{ 1,2,3,4,5,6 \}\) bei einem Würfel.

Du hast Ereignisse; diese sind Teilmengen des Ausgangsraums. Alle Ereignisse zusammen bilden den Ereignisraum. Wenn der Ausgangsraum endlich und recht klein ist, kannst Du einfach alle Ereignisse nehmen, die es gibt, der Ereignisraum ist dann die Potenzmenge.

Wenn der Ausgangsraum nun recht groß, vor allem aber nicht mehr diskret ist, ist der Ereignisraum riesengroß (genau genommen unendlich groß) und nicht mehr handhabbar. Du nimmst als Ereignisraum dann nicht mehr alle, sondern meist nur einen sehr kleinen Teil der Ereignisse.

Diese kleine Teilmenge kann aber nicht beliebig sein, denn sie muss die Regeln der Stochastik erfüllen, vor allem müssen Schnitt, Vereinigung, Komplement etc. irgendwelcher Mengen daraus wieder darin liegen.

Und genau das ist eine sigma-Algebra, bzw. sollen deren Regeln sicherstellen.