Zeigen Sie, dass die Borelsche Sigma-Alegbra auf ℝn erzeugt wird von:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Borelsche Sigma-Alegbra auf ℝⁿ erzeugt wird von:

a) Κ:={A⊂ℝⁿ | A kompakt} und

b) G:={B_r(q),r∈ℚ₊,q∈ℚⁿ}, wobei B_r(x):={y∈ℝⁿ | |x-y|≤r}


Problem/Ansatz:

Bei a) wäre das Komplement unbeschränkt und offen. Kann ich das irgendwie verwenden?

Wir haben bisher gezeigt, dass offene Mengen, abgeschlossene Mengen und unbeschränkte Quader erzeugend sind.

Für unbeschränkte Quader gilt also:

B(ℝⁿ)= σ({(−∞,a) | a ∈ ℝⁿ})=  σ({(a,∞) | a ∈ ℝⁿ})  = σ({(−∞,a] | a ∈ ℝⁿ})=  σ({[a,∞) | a ∈ ℝⁿ}) 

Zu b) habe ich leider keine Ideen wie man es zeigen könnte.