Zeigen Sie, dass die Borelsche σ-Algebra auf ℝn erzeugt wird von

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Borelsche σ-Algebra auf ℝⁿ erzeugt wird von

ϑ := {A ⊂ ℝⁿ : A abgeschlossen}

Problem/Ansatz:

Kann mir einer erklären wie ich hier vorgehen muss?

Weil ich muss doch zeigen dass Β(ℝⁿ)=σ(ϑ) gilt. Dass kann man ja zeigen indem man zeigt, dass Β(ℝn)⊂σ(ϑ) und Β(ℝn)⊃σ(ϑ) gilt, aber wie mache ich das?

Answer 1

Ich nehme mal an, dass ihr irgendwo gezeigt habt,

dass die Borel-\(\sigma\)-Algebra von den offenen Mengen

erzeugt wird. Die offenen Mengen sind die Komplemente

der abgeschlossenen Mengen und vice versa.

Comments

Ja, vielen Dank.

Wenn ich das gleiche nur statt abgeschlossen für Kompakt zeigen muss, kann ich das über die unendliche Quadern zeigen, weil wir haben gezeigt, dass

B(ℝⁿ)= σ({(−∞,a) : a ∈ ℝⁿ})

= σ({(−∞,a] : a ∈ ℝⁿ})= σ({(a,∞) : a ∈ ℝⁿ}) = σ({[a,∞) : a ∈ℝⁿ})

gilt.