Rang und Typ einer Quadrik bestimmen

Question

Gegeben ist die Quadrik

$$Q = \left\{ \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } \right) ^ { \mathrm { T } } \in \mathbb { R } ^ { 3 } | x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } + 2 x _ { 1 } x _ { 3 } + 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } + 4 x _ { 3 } + 4 = 0 \right\} $$

Wir betrachten die Matrixbeschreibung

\( Q=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{\mathrm{T}} A x+2 a^{\mathrm{T}} x+c=0\right\} \)

Bestimmen Sie den Rang der Matrix A und der erweiterten Matrix \( A_{\text{erw}} \) sowie anschließend den Typ der Quadrik Q.

Die Quadrik Q ist eine kegelige Quadrik.
Die Quadrik Q ist eine Mittelpunktsquadrik.
Die Quadrik Q ist eine parabolische Quadrik.

Ich hab:
1  3  und parabolisch raus

Answer 1

Die Quadrik Q ist eine parabolische Quadrik

Drehung mit

\(\small R \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\0&1&0\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\end{array}\right) \,zu\, \text{===>} D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&0\\0&0&2\\\end{array}\right)\) 

===>

\(q_D: \, 2 \; z^{2} + 4 \; \sqrt{2} \; z - 4 \; y = -4\)

===>

Translation

\(T \, :=  \,  \left\{ x = x, y = y, z = z - \sqrt{2} \right\} \)

===>

\(q_N: \, 2 \; z^{2} - 4 \; y = 0\)

oder  2z² - 4 x = 0 oder  2y² - 4x = 0 oder 2x² - 4z = 0 oder 2x² + 4y = 0

nach Reihenfolge der EV