Konvergenzen und Grenzwerte

Question

Aufgabe:

a) Es sei (a_n ) _n∈ℕ  eine Folge deren Reihe ∑ ∞ k=1 a_k konvergiert. Zeigen Sie dass auch a_n konvergiert und das zusätzlich lim_n—>∞ a_n = 0 ist.

b) Zeigen Sie dass die Umkehrung nicht gilt:

(lim_n—>ℕ a_n = 0 —> ∑∞_k=0 a_k konvergiert.)

c) Zeigen Sie dass eine beschränkte Folge unendlich viele Teilfolgen besitzt.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich Schwierigkeiten

Was ich nur weiß ist wenn eine Reihe konvergiert gegen 1/ (1-q) zumindest wenn der Betrag von q<1 ist.

Könnte mir jemand es erklären?

Vielen Dank

Grüße matrix97

Comments

lim_{n—>∞ = 0 ist.}

hier ist bei der Umwandlung ein Teil des Codes verloren gegangen.

Ausserdem fehlen Klammern. Es gilt ja Punkt- vor Strichrechnung. Nenner und Zähler sind einzeln zu klammern.

D.h.  1/ 1-q schreibst du als  1/ (1-q)

EDIT: Fehler behoben. 

Answer 1

eine Reihe konvergiert gegen 1/ 1-q zumindest wenn der Betrag von q<1 ist.

Das gilt nur für geometrische Reihen.

Hier arbeitest du am besten mit der Grenzwertdefinition.

Es sei (a_n ) _n∈ℕ  eine Folge deren Reihe ∑ ∞ k=1 ak konvergiert gegen s.

==>  Zu jedem ε>0 existiert ein no so, dass für alle n>no gilt

                               | ∑ n k=1 ak    -    s | <   ε

(also Summe von k=1 bis k=n,  also die n-te Partialsumme  und das minus s)

                                    |   ∑ ∞ k=n+1 ak       | <  ε

Also die Summe aller auf a_n folgenden Folgenglieder hat einen Betrag kleiner eps.  #

Und du brauchst die Aussage, dass an gegen 0 geht, also

zu jedem ε>0 existiert ein no so, dass für alle n>no gilt    | a_n | < eps

Versuche das mal aus # herzuleiten.

b) betrachte die harmonische Reihe

Comments

b) Was hat die harmonische Reihe damit zu tun? Die gilt ja für Bruchzahlen?

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Die Folge mit a_n = 1/n geht gegen 0,

aber die Reihe konvergiert nicht.

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Danke dir. Kannst du nochmal die a) bitte  erklären. Ich raff's grad i-wie nicht.

Ich geb dir auch 'nen Ansatz:

Es gibt ja das Cauchy-Kritierum, mit dem

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{a_k} \) konvergiert, d.h. für alle Eps > 0 existiert ein N, s.d.

\( \sum\limits_{k=n}^{m}{a_k} \) kleiner Epsilon ist.

Dann ist die notw. Bedingung

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{a_k} \) konvergiert, wenn \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n = 0

Gilt das schon als Beweis? Weil ist ja eig. die Definition?

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\( \sum\limits_{k=n}^{m}{a_k} \) kleiner Epsilon

ist ja schon ganz gut. Heißt aber doch wohl

\(  |\sum\limits_{k=n}^{m}{a_k}  |\) kleiner Epsilon 

 Für an geht gegen 0 brauchst du aber

Für große n gilt   | an | < eps

Wenn die a_k nicht alle das gleiche Vorzeichen haben,

dann kann die Summe klein sein, obwohl die einzelnen

Summanden noch relativ groß sind.

Helfen könnte das:

https://de.wikipedia.org/wiki/Nullfolgenkriterium#Beweis