Y ungleich Z impliziert X geschnitten mit Y ungleich X geschnitten mit Z

Question

Seien X,Y,Z Mengen

Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage:

Y ungleich Z impliziert X geschnitten Y ungleich X geschnitten Z

Wie beweise ich die Aussage formal? "Offensichtlich" ist der Schnitt der Menge X mit Y sowie mit Z identisch, wenn Y gleich Z ist. Wird in der Mathematik als trivial angenommen, dass Gleiches "verknüpft" mit Gleichem wieder gleich ist?

Mein Beweis lautet wie folgt:

Da Y ungleich Z, so existiert ein x e Y, x e Z mit x ungleich x

Nach Definition des Schnitts gilt: X geschnitten Y  = { x | x e X und x e Y }
X geschnitten Z = { x | x e X und x e Z }

Wir erhalten zwei verschiedene Mengen:

{ x | x e X und x e Y } ungleich { x | x e X und x e Z }

Answer 1

x ungleich x

Für ungleiche Objekte darfst du nicht die gleichen Bezeichner verwenden. Bezeichner werden ja dazu verwendet, die bezeichneten Objekte zu unterscheiden. Dieser Nutzen geht verloren, wenn du für ungleiche Objekte die gleichen Bezeichner verwendest.

Außerdem, prüfe anhand der Mengen Y := ∅, Z = {0}, X := {1} die Behauptung.

Comments

Verstehe ich dich richtig: Das Ergebnis wäre dann:

∅ != ∅

was natürlich falsch ist?

Will heißen: Die o.g. Behauptung ist eigentlich zu BEWEISEN und nicht zu WIDERLEGEN?

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Genau, die Behauptung ist falsch und kann deshalb (hoffentlich) nicht bewiesen, sondern nur widerlegt werden.

Wird in der Mathematik als trivial angenommen, dass Gleiches "verknüpft" mit Gleichem wieder gleich ist?

Ja. Genauer gesagt: wenn die Aussage

        X = Y

wahr ist, und Z ein Objekt ist, dass mittels einer Verknüpfung • mit X verknüpft werden kann, dann ist auch die Aussage

        X•Z = Y•Z

wahr. Umgekehrt kann aber nicht argumentiert werden, dass wenn

        X ≠ Y

wahr ist, dass  dann auch

        X•Z ≠ Y•Z

wahr ist.

Answer 2

Wähle X = {}, Y = {1} und Z = {2}. Dann gilt zwar Y ≠ Z, aber auch X ∩ Y = ∅ = X ∩ Z.

Widerspruch!

Comments

Ja, so habe ich es auch verstanden, danke!

Answer 3

sei \( X \cap Y = \emptyset \) und \( X \cap Z = \emptyset \). Sei nun \( Y \cap Z \neq \emptyset \) und \( Y \neq Z \). Diese Reihe zulässiger Voraussetzungen widerspricht bereits der Aussage.

Grüße

Mister