Lineare Algebra: Orthogonale Matrizen

Question

Aufgabe:

Seien λ, μ in |R und

                  1     √2      1

A(μ,λ) =    -1     λ       (μλ)/2              ∈ Mat(3,|R)

                 μ      0        (λ+√2)/2

(i) Bestimmen Sie, für welche λ, μ in R A(μ, λ) orthogonal ist.

Problem/Ansatz:

Ich versuche diese Aufgabe schon eine Weile zu lösen, komme aber nicht weiter.

Mein Ansatz war:

Ich weiß, dass die Matrix A(μ,λ)*AT(μ,λ)= Einheitsmatrix sein muss. Also habe ich die Matrixmultiplikation durchgeführt und der Einheitsmatrix =0 gesetzt, um μ und λ zu bestimmen. Und das ist der Punkt, wo ich nicht weiter komme, da bei mir als Lösung μ=λ= i herauskommt, was aber nicht sein kann, da wir uns in |R befinden...Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann, oder einen noch einfacheren Lösungsweg vorschlagen kann.

LG

Answer 1

ich weiß, dass die Matrix A(μ,λ)*AT(μ,λ)= Einheitsmatrix sein muss

Das ist richtig. Wenn Du aber von dem Produkt \(A \cdot A^T\) nur das eine Element \(a_{1,1}\) berechnest, so kommt dort unabhängig von \(\mu\) und \(\lambda\) immer 4 heraus:$$\begin{pmatrix} 1 & \sqrt 2 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 \\  \sqrt 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 4$$Folglich wird dieses Produkt so nie eine Einheitsmatrix. Ich vermute, Du hast da den Faktor \(1/2\) vergessen und $$A = \frac 12 \begin{pmatrix} 1 & \sqrt 2 & 1\\ -1 & \lambda & \frac 12 \mu \lambda \\ \mu & 0 & \frac12(\lambda + \sqrt 2) \end{pmatrix}$$Weiter kannst Du Dir zu Nutze machen, dass in einer orthogonalen Matrix, die Produkte der Spaltenvektoren =0 sein müssen, da sie senkrecht auf einadner stehen. Daher der Name: "Orthogonale Matrix". Also$$\begin{pmatrix} 1\\-1 \\ \mu \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} \sqrt 2 \\ \lambda\\ 0 \end{pmatrix} = \sqrt 2  - \lambda = 0 \implies \lambda = \sqrt 2$$ Und für den 2. und 3.Spaltenvektor$$\begin{pmatrix} \sqrt 2 \\ \lambda\\ 0 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 1\\ \frac 12 \mu \lambda \\ \frac 12 (\lambda + \sqrt 2) \end{pmatrix} = \sqrt 2 + \frac 12 \mu \lambda ^2 = 0 \\ \implies \mu = -\frac{2 \sqrt 2}{ \lambda ^2} = - \sqrt 2$$Noch für den 1. und 3.Spaltenvektor die Probe machen:$$\begin{pmatrix} 1\\-1 \\ \mu \end{pmatrix}^T \cdot   \begin{pmatrix} 1\\ \frac 12 \mu \lambda \\ \frac 12 (\lambda + \sqrt 2) \end{pmatrix} = 1 - \frac 12 \mu \lambda + \frac 12 \mu \lambda + \mu \sqrt 2 = 0$$Stimmt also.

Gruß Werner

Comments

Wieso setzt du 1/2 vor der Matrix? Wie merke ich vorher, dass ich wie in diesem Beispiel 1/2 mit der Matrix multiplizieren muss?

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Wieso setzt du 1/2 vor der Matrix?

weil die Determinante der Matrix sonst \(\det(A)=2\) wäre. Ich vermutete, dass Du dieses \(1/2\) vergessen hast. Hast Du?

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Achso, nein, habe ich nicht. Genau so steht es in der Aufgabenstellung. Darf ich dann trotzdem 1/2 vorsetzen?

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Darf ich dann trotzdem 1/2 vorsetzen?

Nee - eigentlich nicht. Wenn ich die Definition aus dem Wikipedia-Artikel zu Grunde lege müssen die Spaltenvektoren und Zeilenvektoren die Länge 1 haben, also normiert sein. Da einer der Zeilenvektoren aber schon \((1|\sqrt 2| 1)\) lautet, kann das nie der Fall sein. D,h. die Lösungsmenge für \(\lambda\) und \(\mu\) ist dann leer.

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Es handelt sich hier um eine Aufgabe, die vom Prof gestellt wurde. Schreibe ich dann als Lösung hin, dass die Lösungsmenge leer sein muss? Auch wenn er fordert, dass ich 
λ und μ so bestimmte, dass die Matrix orth. ist?

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Es handelt sich hier um eine Aufgabe, die vom Prof gestellt wurde. Schreibe ich dann als Lösung hin, dass die Lösungsmenge leer sein muss? Auch wenn er fordert, dass ich λ und μ so bestimmte, dass die Matrix orth. ist?

Ja - Du kannst ja das Element \(a_{1,1}\) berechnen (s.o.) und damit sofort argumentieren, dass \(\mathbb{L}=\{\}\) sein muss.

Darüber hinaus kannst Du zusätzlich die obige Rechnung ausführen, und erwähnen, dass man mit dem Faktor \(1/2\) eben die Lösung \(\lambda=\sqrt 2\) und \(\mu=-\sqrt 2\) erhält.

Dann hast Du IMHO die Aufgabe korrekt und vollständig abgearbeitet.Selbst wenn sich Dein Prof bei der Aufgabenstellung vertan hat.

Gruß Werner

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Okay. Herzlichen Dank!

Answer 2

Du hast die Matrix \(A(\mu,\lambda)=\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 1\\ -1 & \lambda & \frac{\mu\lambda}{2} \\ \mu & 0 & \frac{\lambda+\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\).

Reicht es nicht, wenn der Betrag der Determinante gleich 1 ist? Also:$$\begin{vmatrix} 1 & \sqrt{2} & 1\\ -1 & \lambda & \frac{\mu\lambda}{2} \\ \mu & 0 & \frac{\lambda+\sqrt{2}}{2} \end{vmatrix}=1$$ Bestimme \(\mu\) und \(\lambda\).

 Ist nur eine Idee!

Comments

Nein, leider nicht. Die det einer orthogonalen Matrix ist entweder 1 (eigentlich orth.) oder -1 (uneigentlich orth.).

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Warum reicht es dann nicht?

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Weil sie ja nicht unbedingt 1 sein muss, sondern auch -1 eins sein kann, oder nicht?

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Nach deinem Ansatz hast du schon \(A(\mu;\lambda)\cdot A(\mu;\lambda)^T=I\) aufgestellt?

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Kannst Du das bitte teilen, dann kann ich mal gucken, vielleicht klappts ja bei mir.

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Ja genau! Aber total Schwierigkeiten dabei gehabt.

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Ich erhalte für transponierte Matrix:$$A(\mu,\lambda)^T=\begin{pmatrix} 1 & -1 & \mu \\ \sqrt{2} & \lambda & 0 \\ 1 & \frac{\mu\lambda}{2} & \frac{\lambda+\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}$$ Bist du damit d'accord?

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Da würdest du nicht durchsteigen :D.

Also ich habe es so gemacht:

1*1+√2*√2+1*1=4

-1*1+λ*√2+ (μλ)/2*1 muss =0 sein ... und so weiter

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Ja diese Transponierte Matrix habe ich auch

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Naja, Werner hat es jetzt wohl schon raus!

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Ja eben... ich verstehe zwar die Rechnung von Werner, hätte aber gewünscht, dass ich selbst darauf gekommen wäre ... :D

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... hätte aber gewünscht, dass ich selbst darauf gekommen wäre

schlag nach bei Wikipedia, da steht es in der ersten Zeile. Erst in der zweiten Zeile wird erwähnt, dass \(A \cdot A^T=E\) sein soll.