Antwort mit KI erzeugt
Elastizität einer Funktion
Zuerst klären wir, wie die Elastizität einer Funktion definiert ist. Die Elastizität von \(f(x)\) hinsichtlich \(x\), bezeichnet als \(El_{x}f(x)\), gibt an, wie sensibel \(f(x)\) auf Änderungen in \(x\) reagiert, und ist definiert als:
\(El_{x}f(x) = \left(\frac{x}{f(x)}\right) \cdot f'(x)\)
wobei \(f'(x)\) die Ableitung von \(f(x)\) nach \(x\) darstellt.
Zunächst zu: \(El_{x}Af(x)\)
Da \(A\) eine positive Konstante ist, wird \(f(x)\) einfach um den Faktor \(A\) skaliert. Deshalb ist die Elastizität von \(Af(x)\):
\(El_{x}Af(x) = \left(\frac{x}{Af(x)}\right) \cdot (Af'(x)) = \left(\frac{x}{f(x)}\right) \cdot f'(x) = El_{x}f(x)\)
Das bedeutet, dass die Skalierung einer Funktion mit einer Konstanten ihre Elastizität nicht ändert.
Nun zu: \(El_{x}[A + f(x)]\)
Die Herausforderung hier ist der konstante Term \(A\) zusätzlich zu \(f(x)\). Die Elastizität dieses Ausdrucks zu berechnen, folgt der allgemeinen Formel, wobei das \(f(x)\) durch \(A + f(x)\) ersetzt wird. Die Ableitung des neuen Ausdrucks bleibt \(f'(x)\), da die Ableitung einer Konstanten null ist. Also haben wir:
\(El_{x}[A + f(x)] = \left(\frac{x}{A + f(x)}\right) \cdot f'(x)\)
Um dies auf die Elastizität von \(f(x)\) zurückzuführen, setzen wir die ursprüngliche Definition von \(El_{x}f(x)\) ein:
\(El_{x}f(x) = \left(\frac{x}{f(x)}\right) \cdot f'(x)\)
Multiplizieren beider Seiten dieser Gleichung mit \(\frac{f(x)}{A + f(x)}\) ergibt:
\(\frac{f(x)}{A + f(x)} \cdot El_{x}f(x) = \left(\frac{x}{A + f(x)}\right) \cdot f'(x) = El_{x}[A + f(x)]\)
Dies zeigt, dass die Elastizität von \(A + f(x)\) in der Tat durch den Ausdruck
\(\frac{f(x) \cdot El_{x}f(x)}{A + f(x)}\)
gegeben ist. Dies entspricht genau der gesuchten Lösung.
