Bestimmen Sie den Parameter a ∈ R so, dass die beiden Geraden den Abstand d = 1 haben.

Question

Hi,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Gegeben sind zwei zueinander windschiefe Geraden mit einer unbekannten a (im Richtungsvektor) und ich muss a bestimmen sodass die Geraden den Abstand d=1 haben. Kann mir jemand erklären, wie ich a berechne?

Comments

g1: \( \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \)+ r*\( \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix} \)

g2: \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)+ r*\( \begin{pmatrix} 2\\a\\2 \end{pmatrix} \)

Answer 1

Hallo

 so was steht so oft im netz, dass ich es nicht nochmal schreibe. siehe etwa unter https://www.mathematik-oberstufe.de/vektoren/a/abstand-gerade-ws-formel.html

Gruß lul

Answer 2

Stell doch einfach mal die komplette Aufgabe hier als Kommentar zur Verfügung.

Hänge einen Richtungsvektor um und Mache aus den zwei Geraden eine Ebene und einen Punkt. Stelle die Formel für den Abstand der Ebene zum Punkt auf und setze den Abstand gleich 1. Löse dann nach deinem Parameter a auf.

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Habs geschafft danke

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Hilfsebene in Parameterform

E: x = [2, 0, 1] + r * [2, 1, 0] + s * [2, a, 2]

Normalenvektor

[2, 1, 0] ⨯ [2, a, 2] = [2, -4, 2·a - 2]

Hilfsebene in Hessischer Normalform

E: (X - [2, 0, 1]) * [2, -4, 2·a - 2] / |[2, -4, 2·a - 2]| = 0

Abstandsformel der Ebene

d = (X - [2, 0, 1]) * [2, -4, 2·a - 2] / |[2, -4, 2·a - 2]|

Jetzt also den Abstand und Punkt einsetzen und nach a auflösen

d = ([1, 1, 1] - [2, 0, 1]) * [2, -4, 2·a - 2] / |[2, -4, 2·a - 2]| = ±1 → a = 3 ∨ a = -1