Stochastik - Lotto (Unabhängigkeit)

Question

Hallo Community,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Wir betrachten ein Lottospiel mit den Zahlen 1-6 (mit Reihenfolge, ohne zurücklegen) auf den Lottoscheinen sind 6-stellige Zahlencodes der Permutationen der Zahlen 1-6. 

Sei A = "Erste beiden Zahlen 1,2 in der Reihenfolge"
Sei B = "Letzte beiden Zahlen 5,6 in der Reihenfolge"

Sind A und B unabhängig? Theoretisch nicht, oder? Da das Ereignis 12 34 56 oder 12 43 56 in beiden vorkommt kann es ja nicht disjunkt sein, oder? 

Vielen Dank vorab!

Answer 1

A und B sind unabhängig, wenn

        P(A | B) = P(A)

ist.

Da das Ereignis 12 34 56 oder 12 43 56 in beiden vorkommt kann es ja nicht disjunkt sein

Aus der Definition der Unabhängigkeit ergibt sich nicht, dass A und B für Unabhängigkeit disjunkt sein müssen.

Wenn du weißt, dass B eingetreten ist, dann kannst du die Wahrscheinlichkeit von A neu berechnen. Unabhängigkeit besagt, dass diese Neuberechnung zu keinem anderen Ergebnis führt, wie wenn du nicht wissen würdest ob B eingetreten ist oder nicht.

Beispiel: Es wird ein Würfel geworfen.

A: die geworfene Zahl ist eine Primzahl

B: die geworfene Zahl ist größer als 2

P(A) = 1/2 wegen der Primzahlen 2,3,5

Wenn B eingetreten ist, dann sind nur npch die Ergebnisse 3,4,5,6 möglich. Davon sind 3 und 5 Primzahlen, also ist die Wahrscheinlichkeit von A immer noch 1/2 (diese Wahrscheinlichkeit wird mit P(A | B) bezeichnet).

Also sind A und B unabhängig. N.B. A∩B≠∅.

Comments

Hallo oswald, 

vielen Dank für deine ausführliche Antwort. 
Ich käme auf: P(A) = 4!/6! = 1/30 und für P(B) auf das gleiche. Ist das richtig? 

Wie würde sich das ganze dann hier mit P(AnB) verhalten? Vielen Dank vorab!

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Ich käme auf: P(A) = 4!/6! = 1/30 und für P(B) auf das gleiche.

Das ist korrekt.

Wie würde sich das ganze dann hier mit P(AnB) verhalten?

A∩B ist das Ereignis, dass die erste beiden Zahlen 1,2 in der Reihenfolge und die letzten beiden Zahlen 5,6 in der Reihenfolge sind.

Welche beiden Zahlen sind noch nicht in ihrer Position festgelegt? Wieviele Möglichkeiten gibt es, die beiden verbleibenden Zahlen auf die zwei verbliebenden Positionen zu verteilen?

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Hallo Oswald, es gibt doch meiner Meinung nach nur 2 Möglichkeiten, die verbleibenden Zahlen zu verteilen. Oder? Wie sieht dann die Wahrscheinlichkeit aus? Ist das 2/6!?

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Ja, richtig, P(A∩B) = 2/6!