Bestimme alle Elemente von U und die Rechtsnebenklassen

Question

Aufgabe:

$$\text { Gegeben sei die Gruppe } \left( S _ { 4 } , \odot \right) \text { die Permutation } \sigma = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 4 } & { 1 } & { 2 } & { 3 } \end{array} \right) \text { und die Untergruppe } U = < \sigma >$$

a) Bestimmen Sie alle Elemente von U und die Anzahl der Rechtsnebenklassen von U

b) $$\begin{array} { l } { \text { Seien } \rho = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 3 } & { 2 } & { 1 } & { 4 } \end{array} \right) \text { und } \tau = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 2 } & { 1 } & { 3 } & { 4 } \end{array} \right) } \\ { \text { sind } \rho \text { und } \tau \text { in derselben Rechtsnebenklasse von } U ? } \end{array}$$

c) Existiert eine zyklische Untergruppe von S₄ mit 3 Rechtsnebenklassen?

d) Gebe eine Untergruppe der Ordnung 3 von S₆ an.

Problem:

Bei a): Die Elemente von U sollten $$\sigma, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4$$ sein, korrekt? Falls ja, wie berechne ich die Rechtsnebenklassen? Mit welchem Faktor multipliziere ich dann U, um Ux zu erhalten?

Bei b): Hängt quasi von a) ab, wie sieht so eine Rechtsnebenklasse vom aufgespannten Raum einer Permutation aus?