Integral durch Substitution

Question

Aufgabe:

Berechne das Integral mit der angegeben Substitution:

\(\int\limits_{0}^{1}\)x·sin(x²)dx;    g(x) = x²

Problem/Ansatz:

Ich habe als Ergebnis \( \frac{1}{2} \). Aber bei Wolfram Alpha ein anderes Ergebnis bekommen, das ist: sin²(\( \frac{1}{2} \)) = 0,22985.
Jetzt bin ich durcheinander, weil ich deren Ergebnis nicht verstanden habe.

Answer 1

∫ x *sin (x^2)dx

substituiere z= x^2

dz/dx= 2x

=1/2 ∫ sin(z) dz

= (- cos(z))/2 +C

=( -1/2)* cos(x^2) +C dann noch die Grenzen einsetzen

ergibt ≈ 0.22985

Answer 2

Hi,

ich sehe leider nicht wie Du vorgegangen bist, aber 1/2 nicht allzu weit daneben aus ;).

$$\int_0^1 x\sin(x^2) \;dx = \int \frac12 \sin(g) \; dg = \left[-\frac12 \cos(g)\right]$$

Jetzt zurücksubstituieren und die Grenzen einsetzen:

$$-\frac12\cdot \cos(1^2) - (-\frac12\cdot\cos(0^2)) = -\frac12 \cdot \cos(1) + \frac12\cdot 1 ≈ 0,22985$$

Grüße

Comments

Könnte man mir erklären, warum bei dem Taschenrechner (egal welche Einstellung nach "Deg", "Gra", "Rad", etc.) ist cos(1) = 0,99, in der Cosinus Graph ist cos(1)=0 und hier wird cos(1) = 0.54...?

Ich fühle mich dumm... hehe! Aber man bleibt dumm, wenn man nicht fragt. :P

Dankeschön Euch allen!

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Ich kann Dir nicht ganz folgen. Im Rad ist cos(1) ≈ 0,54. Es ist bspw. cos(0) = 1 ;).