Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion Σ k/(2^k) = 2 - ((n+2)/(2^n))

Question

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

a) Für alle natürlichen Zahlen \( n \in N \) gilt:
$$ \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{k}{2^{k}}=2-\frac{n+2}{2^{n}} $$
b) Für \( n \in N \backslash\{0\} \) gilt folgende Ungleichung:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}<2 n $$

Answer 1

∑ (k=0 bis n) (k / 2^k) = 2 - (n + 2) / 2^n

n = 0

∑ (k=0 bis 0) (k / 2^k) = 2 - (0 + 2) / 2^0
0 = 0

n --> n + 1

∑ (k=0 bis n + 1) (k / 2^k) = 2 - (n + 1 + 2) / 2^{n + 1}
∑ (k=0 bis n) (k / 2^k) + (n + 1) / 2^{n+1} = 2 - (n + 1 + 2) / 2^{n + 1}
2 - (n + 2) / 2^n + (n + 1) / 2^{n+1} = 2 - (n + 1 + 2) / 2^{n + 1}
2 - (2n + 4) / 2^{n + 1} + (n + 1) / 2^{n+1} = 2 - (n + 3) / 2^{n + 1}
2 - (n + 3) / 2^{n + 1} = 2 - (n + 3) / 2^{n + 1}

wzbw.

Comments

∑ (k=1 bis n) (1 / k) < 2n

n = 1

∑ (k=1 bis 1) (1 / k) < 2*1
1 < 2

n --> n + 1

∑ (k=1 bis n + 1) (1 / k) < 2(n + 1)
∑ (k=1 bis n) (1 / k) + (1 / (n + 1)) < 2n + 2
2n + 1 / (n + 1) < 2n + 2
1 / (n + 1) < 2

wzbw.