Die beiden Vergleichskriterien sind das "Majorantenkriterium" und das "Minorantenkriterium".
Mit dem Majorantenkriterium zeigt man, dass eine Reihe konvergiert, mit dem Minorantenkriterium zeigt man, dass eine Reihe divergiert..
Hier käme das Minorantenkriterium zur Anwendung. Dieses lautet (in Worten):
Gibt es zu einer Reihe ∑ a k eine Reihe ∑ b k mit b k < a k für fast alle k (also eine sogenannte Minorante), die divergiert, dann divergiert auch die Reihe ∑ a k .
Es gilt also, ein b n zu finden, für das gilt: \({ b }_{ n }<\frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ { n }^{ 2 }-1 } } \) für fast alle n.
Das versucht man durch eine Abschätzung nach unten, hier, indem man den Nenner vergrößert, wodurch sich der Bruch verkleinert:
Für n ≥ 2 gilt:
$$\frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ { n }^{ 2 }-1 } } > \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ { n }^{ 2 } } } > \frac { 1 }{ \sqrt [ 2 ]{ { n }^{ 2 } } } = \frac { 1 }{ n }={ b }_{ n }$$
Von der Reihe \(\sum _{ n=2 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ n } }\) aber ist bekannt, dass sie divergiert.
Da es also eine divergente Minorante zu der Reihe \( \sum _{ n=2 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ { n }^{ 2 }-1 } } } \) gibt, divergiert auch diese Reihe.
