Wie muss die Stelle z ≥ 1 gewählten werden, damit der y-Achsenabschnitt der Tangente an den Graphen …

Question

Wie muss die Stelle \( \mathrm{z} \geq 1 \) gewählt werden, damit der \( \mathrm{y} \) -Achsenabschnitt der Tangente an den Graphen von \( f(x)=2 x \cdot e^{-x} \) im Punkt \( \mathrm{P}(\mathrm{z} \mid \mathrm{f}(\mathrm{z})) \) möglichst groß wird?

Answer 1

Nun, der y-Abschnitt ist dann am größten, wenn die Steigung der Tangenten im Punkt P minimal ist, also den größtmöglichen negativen Wert hat. 

Man muss also das  Minimum der Steigung von f ( x ) bestimmen.

Die Steigung von f ( x ) wird durch die Ableitung f ' ( x ) beschrieben. Es gilt (Produkt- und Kettenregel)::

f ' ( x ) = 2 * e ^{- x} + 2 x * ( - 1 ) * e ^- x = ( 2 - 2 x ) * e ^{- x}

Die Steigung soll minimal sein, es ist also ein Minimum von f ' ( x ) zu bestimmen.
Dazu setzt man die Ableitung von f ' ( x ) , also f ' ' ( x ) gleich Null:

f ' ' ( x ) = - 2 * e ^{- x} + ( 2 - 2 x ) * ( - 1 ) * e ^{- x} = ( 2 x - 4 ) e ^{- x} = 0

Da e ^{- x} niemals Null wird, ist diese Gleichung nur erfüllt wenn gilt:

<=>  2 x - 4 = 0

<=> x = 2

Es ist noch zu prüfen, ob an dieser Stelle tatsächlich ein Minimum vorliegt. Das ist dann der Fall, wenn die dritte Ableitung an dieser Stelle einen positiven Wert annimmt. Es ist:

f ' ' ' ( x ) = ( 6 - 2 x ) * e ^{- x}

und es gilt:

f ' ' ' ( 2 ) = 2 * e ^{- x} > 0

Also liegt an der Stelle x = 2 tatsächlich ein Minimum der Steigung von f ' ( x ) vor. Damit hat die Tangente an f ( x ) an dieser Stelle die größtmögliche negative Steigung aller Tangenten an f ( x ) für x ≥ 1 und somit auch den größten y-Achsenabschnitt all dieser Tangenten.

Es muss also z = 2 gewählt werden.

Der Funktionswert von f ( x ) an dieser Stelle ist:

f ( z ) = f ( 2 ) = 2 * 2 * e ^{- 2} = 4 * e ^{- 2}

Die Steigung der Tangente an f ( x ) an dieser Stelle ist:

f ' ( z ) = f ' ( 2 ) = ( 2 - 2 * 2 ) e ^- 2 = - 2 e ^{- 2}

Setzt man diesen Punkt sowie die berechnete Steigung in die nach dem y-Achsenabschnitt b aufgelöste allgemeine Geradengleichung ein, so erhält man:

b = y - m * x

= f ( z ) - f ' ( z ) * 2

= 4 * e ^{- 2} - ( - 2 * e ^{- 2} ) * 2

= 4 * e ^{- 2} + 4 * e ^{- 2}

= 8 * e ^{- 2}

= 1,08268...

Die Geradengleichung der Tangen ist also:

y = - 2 e ^{- 2} * x + 8 * e ^{- 2}

 

Hier noch ein Schaubild des Graphen von f ( x ) und der berechneten Tangenten:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2+x+e%5E%28-x%29+%2C+-2*e%5E%28-2%29+x+%2B+8*e%5E%28-2%29from-.1to3