Hinreichende Bedingung für Extrema bei quadratischen Funktionen nicht gültig?

Question

Problem:

Man lernt normalerweise, dass f''(x) ≠ 0 die hinreichende Bedingung für Extrema ist.

Jetzt frage ich mich wie das Polynomen zweiten Grades gehen soll, denn die sind ja immer linksgekrümmt, z.B.:

f(x)= x^2+3x-2

f'(x) = 2x+3

f''(x) = 2

Dann könnte man ja jede Stelle einsetzen und dann würde f''(x) ≠ 0 rauskommen.

Wo ist mein Denkfehler?

Hinweis:

Ich weiß wie man Extrema berechnet und was die Bedingungen bedeuten. Es ist nur dieser spezielle Fall der mich verwirrt.

Comments

Zuerst betrachtet man die notwendige Bedingung, dass f'(x) = 0 ist. Das erfüllt bei quadratischen Funktionen nur der Scheitelpunkt. f''(x) = 2 bedeutet, dass die 1. Ableitung der Funktion = Gerade überall die Steigung 2 besitzt.

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Mittlerweile ist mir klar geowrden, dass die hinreichende Bedingung nur dann hinreichend ist, wenn die notwendige Bedingung gilt.

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Und ein Polynom zweiten Grades kann auch eine negative Krümmung haben.

Answer 1

genau, quadratische Funktionen besitzen keine Wendepunkt(e), da sich ihre Krümmung nicht ändert.

Und da f''(x) immer gleich zwei ist, besitzen sie für diese Stelle (f'(x)=0) auch ein Extremum.