Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau U(x1, x2)

Question

Aufgabe: Nutzenniveau berechnen

Kann mir bitte jemand den Rechenweg aufschreiben ohne Softwareeinsatz?

Problem/Ansatz:

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)=25⋅ln(x1)+50⋅ln(x2). Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1=1 und p2=0.5 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=200. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Konsummöglichkeiten.

Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau U(x1,x2)?


a. 384.29


b. 530.18


c. 298.13


d. 496.18


e. 498.29

Comments

$$U(x_1,x_2)=25 \cdot \ln(x_1)+50\cdot \ln(x_2)$$

$$200= x-1 + \frac 12 x_2 $$

$$0= x-1 + \frac 12 x_2 -200$$

$$\Lambda (x_1,x_2, \lambda )=25 \cdot \ln(x_1)+50\cdot \ln(x_2)- \lambda \cdot \left(x-1 + \frac 12 x_2 -200\right) $$

Nun die partiellen Ableitungen bilden - deren Nullstellen finden und daraus die kritischen Punkte ermitteln.

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Ist x die Menge, und wenn ja warum sagt der Aufgabensteller das nicht?

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Das ist eine klassische WiWi-Aufgabe - wer damit schon zu tun hatte, kann mit den Bezeichnern was anfangen.

Wer die Terminologie der WiWi-freaks nicht kennt, kann so toll in Mathe sein wie er will - das hilft exakt Null.

Umgekehrt braucht man in Mathe fast nix zu wissen, um die WiWi-Klausuren zu bestehen - vorausgesetzt man kennt die Terminologie ...

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sehe grade, dass ich bei dem einen X den Unterstrich Index 1 mit dem Minus vertippst habe.

also korrigiert:

$$200= x_1 + \frac 12 x_2 $$

$$0= x_1 + \frac 12 x_2 -200$$

$$\Lambda (x_1,x_2, \lambda )=25 \cdot \ln(x_1)+50\cdot \ln(x_2)- \lambda \cdot \left(x_1 + \frac 12 x_2 -200\right)$$

Answer 1

Nebenbedingung

1·x + 0.5·y = 200 --> y = 400 - 2·x

Hauptbedingung

U = 25·LN(x) + 50·LN(y)

U = 25·LN(x) + 50·LN(400 - 2·x)

U' = 25/x + 50/(x - 200) = 0 --> x = 200/3

y = 400 - 2·(200/3) = 800/3

Einsetzen

U = 25·LN(200/3) + 50·LN(800/3) = 384.3

Kontrolle mit Technologieeinsatz

https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+25*ln(x)%2B50*ln(y)+with+1x%2B0.5y%3D200