Hier ein ganz allgemeiner Weg, wie du die Mengen der beiden Güter ausrechnen kannst. Diese brauchst du dann nur noch in die Nutzenfunktion einsetzen.
Nutzenfunktion: U(x, y) = x^a·y^b
Preis für x ist p ; Preis für y ist q ; Budget m
Nebenbedingung: p·x + q·y = m --> y = (m - p·x)/q
Lagrange Funktion: L = x^a·y^b - k·(p·x + q·y - m)
dL / dx = a·x^{a - 1}·y^b - k·p = 0 --> k = a·x^{a - 1}·y^b/p
dL / dy = x^a·b·y^{b - 1} - k·q = 0
x^a·b·y^{b - 1} - (a·x^{a - 1}·y^b/p)·q = 0
x^a·b·((m - p·x)/q)^{b - 1} - (a·x^{a - 1}·((m - p·x)/q)^b/p)·q = 0
x = a·m/(p·(a + b))
y = (m - p·x)/q
y = (m - p·(a·m/(p·(a + b))))/q
y = b·m/(q·(a + b))
