Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau? Nutzenfunktion: U( x1 , x2 )= x1^{0.8} x2^{0.25}

Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U( x1 , x2 )= x1^{0.8} x2^{0.25} . Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1 =0.5 und p2 =1 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=530. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion. Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau U( x1 , x2 )?

Comments

x1 0.8 x2 0.25
Welche Operationszeichen soll man sich zwischen den vier 'Faktoren' vorstellen? Alles 'mal'?

EDIT: Soweit korrigiert.
Wie das p und das I mit U zusammenhängen, ist mir leider nicht klar.

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x1^0.8 * x2^0.25

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Kannst du vielleicht damit was anfangen?
https://www.mathelounge.de/6290/nutzenfunktion-lagrange-verfahren-erreichende-nutzenniveau

Answer 1

Diese Rechnung ist unbedingt auf Rechenfehler zu prüfen. Ich habe das einfach nur so runtergeschrieben laut der vorlage aus dem Link von Lu und nur Werte ersetzt. 

 

Nebenbedingung aufstellen:

0.5·x + 1·y = 530

Lagrange-Funktion bilden:

L(x, y, λ) = x^0.8·y^0.25 - λ·(0.5·x + 1·y - 530)

Bedingungen erster Ordnung herleiten:

dL(x, y, λ)/dx = 0.8·x^{-0.2}·y^0.25 - 0.5·λ = 0

I) 0.8·x^{-0.2}·y^0.25 = 0.5·λ

dL(x, y, λ)/dy = x^0.8·0.25·y^{-0.75} - 1·λ = 0

II) x^0.8·0.25·y^{-0.75} = 1·λ

Auflösen I / II

0.8·x^{-0.2}·y^0.25 / (x^0.8·0.25·y^{-0.75}) = 0.5/1

y = 5/32·x

In Nebenbedingung einsetzen:

0.5·x + 1·y = 530

0.5·x + 1·(5/32·x) = 530

x = 16960/21 = 807.62

y = 5/32·x = 5/32·(16960/21) = 2650/21 = 126.19

Das max. Nutzenniveau ermitteln:

U(x, y) = x^0.8·y^0.25 = (807.62)^0.8·(126.19)^0.25 = 709.6135297