Nutzenfunktion mit Lagrange-Verfahren: Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau U( x1 , x2 )?

Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U( x1 , x2 )= x1 ^{0.75}* x2^{0.5} . Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1 =0.5 und p2 =2 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=450. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion.
Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau U( x1 , x2 )?

Answer 1

Nebenbedingung aufstellen:

0.5x + 2y = 450

Lagrange-Funktion bilden:

L(x, y, λ) = x^0.75 * y^0.5 - λ(0.5x + 2y - 450)

Bedingungen erster Ordnung herleiten:

dL(x, y, λ)/dx = 0.75*x^-0.25 * y^0.5 - 0.5λ = 0
dL(x, y, λ)/dy = x^0.75 * 0.5y^-0.5 - 2λ = 0

Auflösen nach x und y:

dL(x, y, λ)/dx / dL(x, y, λ)/dy = px / py

0.75·x^{-0.25}·y^0.5/(x^0.75·0.5·y^{-0.5}) = 3y/(2x) = 0.5/2

y = 1/6 x

In Nebenbedingung einsetzen:

0.5x + 2y = 450
0.5x + 2(1/6 x) = 450
5/6 x = 450
x = 540

y = 1/6 x = 90

Das max. Nutzenniveau ermitteln:

U( x, y) = x^0.75 * y^0.5 = 540^0.75 * 90^0.5 = 1062.7

Comments

was ist hier mit px/py gemeint?

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Das ist Preis vom Gut x durch Preis vom Gut y.

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Ich verstehe nun stellt sich mir nurnoch die Frage , wie sich 

0.75·x^-0.25·y^0.5/(x^0.75·0.5·y^-0.5) = 3y/(2x) = 0.5/2 nach y auflösen lässt. Wie bist du da vorgegangen?

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3y/(2x) = 0.5/2

Wo ist hier genau das Problem es nach y aufzulösen ?

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naja ich habe Probleme mit den Rechenregeln was man im diesem Fall machen darf und was nicht.. ich nehme an du hast da viel gekürzt aber was darf man hier kürzen und was bleibt über etc

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Die Preise sind doch aber gar nicht 3 und 2. ich bin verwirrt. Wie kommt man darauf?

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Nebenbedingung aufstellen:

450 - 0,5x - 2y = 0

Lagrange-Funktion bilden:

L(x,y,λ) = x^0,75 · y^0,5 + λ · (450 - 0,5x - 2y)

partielle Ableitung bilden:

Lx´(x,y,λ) = 0,75x^-0,25 · y^0,5 - 0,5λ = 0

Ly´(x,y,λ) = x^0,75 · 0,5y^-0,5 - 2λ = 0

Auflösen nach x:

0,75x^-0,25 · y^0,5  /  x^0,75 · 0,5y^-0,5 =  0,5λ / 2λ

0,75 / 0,5 · y / x = 1 / 4

x = 6 · y

Einsetzen in Nebenbedingung:

450 - 0,5 · (6 · y) - 2y = 0

450 – 5y = 0

y = 90

Bestimmung von x:

x = 6 · y

x = 6 · 90 = 540

max. Nutzenniveau errechnen:

U (x,y) = x^0,75 · y^0,5

U (x,y) = 540^0,75 · 90^0,5 = 1062,71