Lage von Geraden zu einer Ebene im Würfel

Question

Der Würfel hat die Eckpunkte A(/0/0/0) , B(0/8/0) , C(-8/8/0) , E(0/0/8) .

Die Ebene E1 ist durch die Punkte A ,F und H, die Ebene E2 durch die Punkte B ,D und G festgelegt.

F: Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden durch C und E mit den Ebenen E1 und E2

Comments

Was soll ich für AF und AH einsetzen , ich habe die Vektoren nicht

Lies die Vektoren an der Skizze ab.

Vorschlag:

AF = (0|8|8)

AH = (-8|0|8)

Answer 1

Löse die Gleichung \(\vec{OC} + r\cdot \vec{CE} = \vec{OA} + s\cdot\vec{AF} + t\cdot\vec{AH}\).

Setze die Lösung für \(r\) in

         \(\vec{OC} + r\cdot \vec{CE}\)

ein. Das ist der Schnittpunkt der Geraden mit \(E_1\).

Löse die Gleichung \(\vec{OC} + r\cdot \vec{CE} = \vec{OB} + s\cdot\vec{BD} + t\cdot\vec{BG}\).

Setze die Lösung für \(r\) in

        \(\vec{OC} + r\cdot \vec{CE}\)

ein. Das ist der Schnittpunkt der Geraden mit \(E_2).

Comments

Was soll ich für AF und AH einsetzen , ich habe die Vektoren nicht

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Die gegebenen Eckpunkte und die gegebene Skizze passen nicht zueinander.

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das steht aber so im buch

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Die Skizze passt mE schon. Der Koordinatenursprung ist ja in A.

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In welcher der Koordinatenebenen soll denn ABCD liegen? Und wenn in keiner, in welcher Ebene dann?

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Hallo Roland, ist deine Frage ernst gemeint?

A, B und C (und somit auch D) haben alle die z-Koordinate 0.

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In welcher der Koordinatenebenen soll denn ABCD liegen? Und wenn in keiner, in welcher Ebene dann?

ABCD liegt in der Ebene z = 0.

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Was soll ich für AF und AH einsetzen

\(\vec{OF}\):

    \(\vec{OA} + \vec{AF} = \vec{OF}\)

    \(\vec{OF} = \vec{OB} + \vec{AE}\)

\(\vec{AH}\):

    \(\vec{OA} + \vec{AH} = \vec{OH}\)

    \(\vec{OH} = \vec{OD} + \vec{AE}\)

    \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC}\)

Answer 2

F: Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden durch C und E mit den Ebenen E1 und E2.

g: x = C + r·CE = [-8, 8, 0] + r·[8, -8, 8]
E1: x = A + r·AF + s·AH = [0, 0, 0] + r·[0, 8, 8] + s·[-8, 0, 8]
E2: x = B + r·BD + s·BG = [0, 8, 0] + r·[-8, -8, 0] + s·[-8, 0, 8]

Schnittpunkt E1 = g
[0, 0, 0] + r·[0, 8, 8] + s·[-8, 0, 8] = [-8, 8, 0] + t·[8, -8, 8] → r = 1/3 ∧ s = 1/3 ∧ t = 2/3
S1 = [-8, 8, 0] + 2/3·[8, -8, 8] = [- 8/3, 8/3, 16/3]

Schnittpunkt E2 = g
[0, 8, 0] + r·[-8, -8, 0] + s·[-8, 0, 8] = [-8, 8, 0] + t·[8, -8, 8] → r = 1/3 ∧ s = 1/3 ∧ t = 1/3
S2 = [-8, 8, 0] + 1/3·[8, -8, 8] = [- 16/3, 16/3, 8/3]