Textaufgabe Äquivalenzumformung von 1/x = 1/3 + 1/2?

Question

Aufgabe:

Anna benötigt drei Stunden, um einen Auftrag zu erledigen. Berta würde für den gleichen Auftrag zwei Stunden benötigen.
Wie lange brauchen Anna und Berta, wenn sie die Arbeit gemeinsam anpacken?

Problem/Ansatz:

Den Ansatz habe ich richtig raus aber im Ergebnis soll bei der Äquivalenzumformung am Ende 6/5 rauskommen und nicht 5/6. Wie sollte ich nun am besten weiter verfahren?

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{x} = \frac{5}{6}$$

Answer 1

Achtung: Sobald x über den Bruchstrich kommt, machst du keine Äuquivalenzumformung mehr.

In der gegebenen Gleichung wird vorausgesetzt, dass x≠0 ist. Wenn x nicht mehr im Nenner ist, kann x theoretisch auch 0 sein. D.h. du musst das Resultat am Schluss noch in der gegebenen Gleichung kontrollieren.

Alternative Umformung (statt stürzen)

1/x = 1/3 + 1/2       | * 6x     , keine Äquivalenzumformung!

(6x)/x = (6x)/3 + (6x)/2

6 = 2x + 3x

6 = 5x           | :5

6/5 = x 

Comments

Und woher weißt du das man mit 6x multiplizieren muss?

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Das ist der Hauptnenner: $$x\cdot3\cdot2=6x$$

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Danke Silvia.

Damit man nicht zu viel tut und doch alle Brüche wegbekommt: Man wählt das kleinste gemeinsame Vielfache der vorhandenen Nenner.

Bei

1/x = 1/8 + 1/4

genügt z.B. der Faktor 8x.

1/x = 1/8 + 1/4    | * ( 8x)

(8x)/x = (8x)/8 + (8x)/4

8 =x + 2x

8 = 3x

8/3 = x

Es geht aber mit Bruchrechnen und "stürzen" schon schneller:)

1/x = 1/8 + 1/4   

1/x = 1/8 + 2/8

1/x = 3/8       | "stürzen" / Kehrwert. | Achtung: idR Keine Äquivalenzumformung

x = 8/3

Answer 2

Kehrwertbildung auf beiden Seiten leistet das Gewünschte. Manche nennen diese Umformung auch "Stürzen" der Gleichung.