Hallo :)
Erst mal ein bisschen Kontext :)
Ich bin gerade dabei eine älteren Aufgabe zu bearbeiten, bei der ich folgendes Vorausgesetzt habe:
f,g:ℝ→ℝ stetig auf ℝ und es gilt für alle x ∈ ℚ f(x)=g(x).
Zu zeigen ist, dass für alle x ∈ ℝ ebenfalls f(x)=g(x) gilt.
Ich habe auch eine richtige Lösung in Form eines Widerspruchsbeweis dazu.
Allerdings habe ich mich gefragt, ob ich das nicht auch direkt beweisen kann und habe mir dafür eine Folge mit Elementen aus ℚ definiert, die gegen einen Grenzwert in ℝ konvergiert:
Sei x ∈ ℝ\ℚ. Da ℚ dicht in ℝ liegt, gibt es in jeder Umgebung U1/n(x) von x eine Zahl xn ∈ ℚ. Das heist, es gibt eine Folge (xn)n ∈ ℚ mit xn := x+1/n, die gegen x konvergiert.
Wegen der Stetigkeit gilt:
\( \lim\limits_{n\to\infty} \) f(xn) = f(\( \lim\limits_{n\to\infty} \)xn) und
\( \lim\limits_{n\to\infty} \) g(xn) = g(\( \lim\limits_{n\to\infty} \)xn)
Und hier an der Stelle bin ich mir halt unsicher. An sich ist es keine Äquivalenzumformung, wenn ich den Limes auf zwei unterschiedliche Folgen anwende. Aber da ja die Funktionen und die Folgen beide übereinstimmen und demnach dasselbe auf beiden Seiten steht (die Gleichheit f(x)=g(x) gilt ja und wird hier nicht erst beweisen), müsste doch gelten:
f(x)=g(x) für alle x ∈ ℚ
(da xn ∈ ℚ) ⇔ f(xn)=g(xn)
⇔ \( \lim\limits_{n\to\infty} \) f(xn) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) g(xn)
⇔ f(\( \lim\limits_{n\to\infty} \)xn) = g(\( \lim\limits_{n\to\infty} \)xn)
⇔ f(x) = g(x) für alle x ∈ ℝ
Also an der Stelle mit dem Limes (dick geschrieben) , weiß ich nicht, ob ich das so machen darf und wollte deswegen hier nachfragen, ob das so erlaubt ist :)
