Gleichheit von 2 Funktionen zeigen.

Question

Kann mir jemand zeigen wie man diese Gleichheit zeigt?

\( n \sum \limits_{i=1}^{n}\left(\frac{y_{i}}{n}-\bar{y}\right)^{2}=\tilde{s}^{2}+(n-1)^{2} \bar{y}^{2} \)

Für s² gilt: \( \tilde{s}^{2}=1 / n \sum \limits_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2} \)

und für \( \bar{y} \) gilt: \( \bar{y}=1/n \sum \limits_{i=1}^{n}\left(y_{i}\right) \)

Answer 1

$$\quad n\sum_{i=1}^n\left(\frac{y_i}n-\bar y\right)^2-\tilde s^2=n\sum_{i=1}^n\left(\frac{y_i}n-\bar y\right)^2-\frac1n\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2$$\(\quad\)Multipliziere die Quadrate aus:$$=\left(\frac1n\sum_{i=1}^ny_i^2-2\bar y\sum_{i=1}^ny_i+n\bar y^2\sum_{i=1}^n1\right)-\left(\frac1n\sum_{i=1}^ny_i^2-\frac2n\bar y\sum_{i=1}^n y_i+\frac1n\bar y^2\sum_{i=1}^n1\right)$$\(\quad\)Die jeweils ersten Summanden in den Klammern heben sich auf.
\(\quad\)Ersetze \(\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i\) durch \(n\bar y\):$$=-2\bar y\cdot n\bar y+n\bar y^2\cdot n+\tfrac2n\bar y\cdot n\bar y-\tfrac1n\bar y^2\cdot n$$$$=(-2n+n^2+1)\bar y^2=(n-1)^2\bar y^2.$$