Gleichheit zweier Summen beweisen

Question

Hi, hab folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass
\( \sum \limits_{k=1}^{n}\left(x_{k}-\bar{x}\right)^{2}=\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}-n \bar{x}^{2} \), wobei \( \bar{x}=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k} \) ist

Ich hab bisher versucht das ganze umzuformen mit binomischer Formel, weil ja linke Summe (a-b)² und für \( \bar{x}\) den Term einzusetzen etc., jedoch komme ich danach nicht viel weiter. Bitte um Hilfe, Danke :-)

Answer 1

Hallo,

... umzuformen mit binomischer Formel

Der Ansatz ist gut, ...

... und für \( \bar{x}\) den Term einzusetzen

das wird nur kompliziert. Suche statt dessen den Term von \(\bar x\) in den entstehenden Ausdrücken. Etwa so:$$\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n}\left(x_{k}-\bar{x}\right)^{2} &= \sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2- 2\sum \limits_{k=1}^{n}x_k\bar{x} + \sum \limits_{k=1}^{n}\bar{x}^2\\ &= \sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2- 2\bar{x} \sum \limits_{k=1}^{n}x_k + n\bar{x}^2\\ &= \sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2- 2n\bar{x}\cdot \underbrace{\frac1n \sum \limits_{k=1}^{n}x_k}_{=\bar{x}} + n\bar{x}^2\\ &= \sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2 -2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2\\ &=\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}-n \bar{x}^{2} \end{aligned}$$\(\bar x\) ändert sich innerhalb der Summe nicht und kann somit als Faktor heraus gezogen werden.

Comments

Vielen Dank! Macht das ganze direkt viel klarer und einfacher.

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Würdest du mir evtl. den Schritt von

\( =\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}-2 \bar{x} \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}+n \bar{x}^{2} \)

zu

\( =\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}-2 n \bar{x} \cdot \underbrace{\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}}_{=\bar{x}}+n \bar{x}^{2} \)

genauer erklären? Verstehe nicht so recht wo die \( {\frac{1}{n}} \) herkommt.

Danke.

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Verstehe nicht so recht wo die \( {\frac{1}{n}} \) herkommt.

Ich habe den Term mit \(1= \frac nn\) multipliziert. Dadurch ändert sich der Term natürlich nicht.$$\begin{aligned}2 \bar{x} \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k} &= \frac {\color{red}n}{\color{blue}n} \cdot 2 \bar{x} \cdot \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}  \\ &= 2 {\color{red}n}\bar{x} \cdot \frac 1{\color{blue}n}\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k} \end{aligned}$$

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Verstehe jetzt. Vielen Dank für deine Hilfe!

Answer 2

Schau mal dort. Musst nur noch die Gleichung auf

beiden Seiten mal n nehmen.

https://www.uni-giessen.de/fbz/fb02/fb/professuren/vwl/winker/lehre/veranstaltungen/statistik/download/verschiebungssatz

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Danke für den link!