Die Frage bezieht sich auf ein Verfahren, den Grenzwert einer Funktion
$$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$$
zu bestimmen, indem man
$$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=a$$
ansetzt, und dann Äquivalenzumformungen durchführt, bis man den Grenzwert von f(x) leicht ablesen kann. Ein Beispiel:
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\sqrt{1+2x}}{x}=a \Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to 0} \sqrt{1+2x}=ax+1 \Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to 0} 1+2x=(ax)^2+2ax+1 \Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to 0} 2=-2a +a^2x$$
Und aus dem letzten teil würde dann Folgen, dass a=-1 ist. Jetzt scheint mir dieser Ansatz im Allgemeinen falsch zu sein, da zu Beginn angenommen wird, dass der Grenzwert existiert, was ja komplett falsch sein kann, jetzt fällt mir bloß leider kein Gegenbeispiel ein. Findet jemand ein Gegenbeispiel, also etwa ein divergenter Grenzwert $$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$$, für den das obige Verfahren Konvergenz liefert? Hinweis: Dieses Verfahren erlaubt nicht, Grenzwerte verschiedener Terme einzeln zu ziehen, etwa
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}=a\Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{x^2}=a\Longleftrightarrow \lim\limits_{x\to 0} {x}=ax^2\Longleftrightarrow 0=0$$
ist verboten.
