Extremstellen von (Integral von g(t) = t^2 + 2t - 1 mit unterer Grenze x-1 und oberer Grenze x+1 )?

Question

Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion f : R → R

f(x)= \( \int\limits_{x-1}^{x+1}t^{2}+2t-1\) dt

Answer 1

Eine Stammfunktion des Integrandenist t³/3+t²-1. Hier die Grenzen eingesetzt und entsprechende Terme subtrahiert, ergibt

2/3(3x²+6x-2). Die Nullstelle der ersten Ableitung ist x=-1.

Comments

Alternative :  Erst mal alles mit (x^2+7/4) multiplizieren und danach gleich wieder durch (x^2+7/4) dividieren.

Answer 2

Graphisch: x statt t (nicht verwirren lassen!) Der Abstand der Integrationsgrenzen ist 2.

Also:

~plot~ x^2 + 2x - 1;x=-3;x=-1 ~plot~

oder

~plot~ x^2 + 2x - 1;x=0;x=2 ~plot~

oder

~plot~ x^2 + 2x - 1;x=-2;x=0 ~plot~

Das lokale Minimum liegt aus Symmetriegründen bei den Grenzen x1 = -2 zusammen mit x2 = 0.

Für die Frage und f(x) dort: Das gesuchte x ist x = -1. Dort hat  f(x) ein lokales Minimum.

Answer 3

\(\begin{aligned}&\int_{x-1}^{x+1}t^2 + 2t - 1\,\text{d}t \\=& \left[\frac{1}{3}t^3+t^2-t\right]_{x-1}^{x+1} \\= &\left(\frac{1}{3}(x+1)^3+(x+1)^2-(x+1)\right)-\left(\frac{1}{3}(x-1)^3+(x-1)^2-(x-1)\right)\end{aligned}\).

Bestimme die Extremstellen der Funktion \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)

        \(f(x) = \left(\frac{1}{3}(x+1)^3+(x+1)^2-(x+1)\right)-\left(\frac{1}{3}(x-1)^3+(x-1)^2-(x-1)\right)\).