Bestimme Orthonomalbasis mit Parametern

Question

HI!

Aufgabe:

v1 = \( \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\a \end{pmatrix} \)

v2 = \( \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\b \end{pmatrix} \)

aus R²

Bestimme alle Paare(a,b), für die v1,v2 Orthonomalbasis des R²  sind (bzgl. des Standard-Skalarproduktes)

Problem/Ansatz:

Ich wollte jetzt die Eigenschaften von Orthogonalbases testen.

1. haben die Basen die Länge =1

2. Ist das Skalarprodukt v1•v2=0

Dabei komme ich auch keine vernünftigen Werte momentan bzw. für das Skalarprodukt erhalte ich \( \frac{1}{2} \) + ab = 0

Answer 1

1. haben die Basen die Länge =1.

v1 hat die Länge 1 gdw. 1/2 + a^2 = 1.

==> a = ± 1/√2 .

analog: b = ± 1/√(2)

Gibt theoretisch 4 Kombinationsmöglichkeiten für a und b.

2. Ist das Skalarprodukt v1•v2=0

Nun noch a und b so kombinieren, dass das hier auch stimmt. Das reduziert die obigen Möglichkeiten etwas.

Comments

Achso danke! Dann ist die Lösung (\( \frac{1}{\sqrt{2}} \),-\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)) oder (-\( \frac{1}{\sqrt{2}} \),\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)) .

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Genau. Dann ist "die Lösung":

(a,b) =  (\( \frac{1}{\sqrt{2}} \),-\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)) oder (a,b) = (-\( \frac{1}{\sqrt{2}} \),\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)) .