Antwort mit KI erzeugt
Um zu zeigen, dass für die Funktion \(f(t) = \frac{1}{t^2} - \frac{4}{t}\) im Intervall \((-\infty, -1]\) gilt, dass \(f(t) \in (0, 5)\), müssen wir einige Schritte durchführen. Zu beachten ist, dass wir das Symbol „\}" bei der Angabe des Definitionsbereichs als Tippfehler betrachten und es korrekt als \((-\infty, -1]\) interpretieren.
Schritt 1: Funktion Simplifizieren
Beginnen wir damit, die Funktion zu vereinfachen. Die gegebene Funktion ist:
\(
f(t) = \frac{1}{t^2} - \frac{4}{t}
\)
Da es schwierig ist, mit dem aktuellen Format zu arbeiten, bringen wir die Terme auf einen gemeinsamen Nenner:
\(
f(t) = \frac{1}{t^2} - \frac{4t}{t^2} = \frac{1 - 4t}{t^2}
\)
Schritt 2: Die Funktion im gegebenen Intervall untersuchen
Nun möchten wir herausfinden, ob die Werte von \(f(t)\) für \(t \in (-\infty, -1]\) immer zwischen 0 und 5 liegen.
Gucken wir uns zunächst die Grenzwerte der Funktion an den Enden des Intervalls an:
1.
Grenzwert für \(t \to -\infty\):
Da sowohl Zähler als auch Nenner gegen \(-\infty\) gehen, betrachten wir das Verhalten der Terme. Der Term \(-4t\) dominiert gegenüber der \(1\) im Zähler, wenn \(t\) sehr groß (im negativen Sinne) wird. Also wird der Wert im Zähler negativ und groß, während der Nenner (als Quadrat) immer positiv und ebenfalls groß wird. Dies führt zu einem Verhalten, bei dem \(f(t)\) gegen 0 strebt, jedoch immer positiv bleibt.
2.
Für \(t = -1\):
Setzen wir \(t = -1\) in \(f(t)\) ein, um den spezifischen Wert zu berechnen:
\(
f(-1) = \frac{1 - 4(-1)}{(-1)^2} = \frac{1 + 4}{1} = 5
\)
Schritt 3: Funktion auf Monotonie überprüfen
Die Funktion weist keinen konstanten Verlauf auf, aber wir können analysieren, ob sie möglicherweise konstant steigend oder fallend ist. Für \(t \in (-\infty, -1]\) zeigt die Struktur der Funktion \(f(t) = \frac{1 - 4t}{t^2}\), dass da der Nenner stets positiv ist, die Monotonie hauptsächlich durch \(1 - 4t\) bestimmt wird. Da \(-4t\) für \(t \in (-\infty, -1]\) immer abnimmt, nimmt der Wert von \(f(t)\) zu, wenn wir uns von links nach rechts bewegen.
Fazit:
Die obige Analyse zeigt, dass für \(t \in (-\infty, -1)\) der Funktionswert \(f(t)\) von einem kleinen positiven Wert gegen 0 (da \(\lim_{t \to -\infty} f(t) \to 0^+\)) hin zu \(f(-1) = 5\) ansteigt. Daher können wir schlussfolgern, dass die Werte von \(f(t)\) im Intervall \((- \infty, -1]\) tatsächlich im Intervall \((0, 5)\) liegen.
