komisch, dass Dir noch keiner geantwortet hat; so schwierig ist das jetzt auch nicht ...$$A \cdot x = b, \quad A = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&a&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} \space a \in \mathbb{R}$$
Ich unterscheide 2 Fälle einmal a=0 und einmal a ungleich 0, ...
Ja genau! Nehmen wir den Fall \(a \ne 0\). Dann ist die Determinante der Matrix \(\det(A)=a \ne 0\) und immer invertierbar. Es gibt immer eine Lösung und die ist$$x = A^{-1} \cdot b = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&\frac 1a&0\\ 0&0&1\end{pmatrix} \cdot b$$und diese Lösung ist für jeden Wert von \(b\) eindeutig.
Für den Fall \(a=0\) ist die Determinante zwar auch \(0\), aber für einige Werte von \(b\) gibt es trotzdem Lösungen. Und zwar für$$b = \begin{pmatrix} b_x \\ 0\\ b_z\end{pmatrix} \quad b_x,b_y \in \mathbb{R}$$Die Lösung berechnet sich dann aus$$\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_x \\ x_y \\ x_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_x \\ 0\\ b_z\end{pmatrix} \\ \implies x_x = b_x, \space x_y \in \mathbb{R}, \space x_z = b_z$$D.h. die Lösung ist nicht mehr eindeutig. Die Y-Koordinate des Lösungsvektor kann jeden beliebigen Wert annehmen.
Gruß Werner
