Die Parabel mit dem streckfaktor a...

Question

Aufgabe: die Parabel mit dem streckfaktor a schneidet die x-achse im punkt P und hat den scheitel S. Gib den zweiten schnittpunkt Q mit der x-achse an. Bestimme die scheitelform dieser Parabel und daraus dann die allgemeine Form.

a= 1; P(2/0); S(4/  ); Q(    /0)

Problem/Ansatz:

Answer 1

setzt du deine Werte in die Scheitelpunktform \(y=a(x-d)^2+e\) ein, erhältst du \(0=1(2-4)^2+e \Rightarrow e=-4\)

Comments

Also ich verstehe es nicht ganz. Können Sie es mir schritt für schritt erklären?

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Also, damit ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt, können wir die y- und x-Koordinate für y und x in der Funktion einsetzen.

Z.B. hast du die Funktion \(y=2x\) und du möchtest wissen, ob der Punkt M(1.5|3) auf dem Graphen liegt. Also setzt du den Punkt ein: \(3=2\cdot 1.5 \Leftrightarrow 3=3\). Diese Aussage ist wahr, also liegt der Punkt auf dem Graphen.

Nehmen wir jetzt die Scheitelpunktform und setzen den Punkt P ein, so erhalten wir:
\(0=1(2-d)^2+e\) (wir wissen, a=1). Des weiteren wissen wir, dass in der Scheitelpunktform, die Koordinaten des Scheitels S(d|e) lauten. Hier haben wir nur den x-Wert gegeben (4). Setzen wir diesen auch noch ein, so erhalten wir:

\(0=1(2-4)^2+e\). Wir haben also eine Variable, nach der wir auflösen können:
\( e=-4\).

Also haben wir die Scheitelpunktform \(y=(x-4)^2-4\), die du dann in die allgemeine Form umwandeln kannst und mit der du (vor oder nach dem Umwandeln) du die 2. Nullstelle berechnen kannst.

Answer 2

Hallo Himina,

die Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung ist

$$f(x)=a(x-d)^2+e$$

a = Streck-/Stauchfaktor

d = x-Koordinate des Scheitelpunktes

e = y-Koordinate des Scheitelpunktes

a = 1 ⇒

$$f(x)=(x-d)^2+e$$

d = 4 ⇒

$$f(x)=(x-4)^2+e$$

Um e zu berechnen, werden die Koordinaten des Punktes P in diese Gleichung eingesetzt:

$$0=(2-4)^2+e\\ 0=(-2)^2+e\\ 0=4+e\\ -4=e$$

Also

$$f(x)=(x-4)^2-4$$

und der Scheitelpunkt ist S (4|-4)

Die allgemeine Form erhältst du, wenn du diese Gleichung ausmultiplizierst.

Gruß, Silvia