Ein Würfel wird geworfen. Es wurde eine gerade Zahl gewürfelt. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass es sich im eine Primzahl handelt?
Die Aufgabe kann man natürlich so lösen, dass die Grundmenge Ω = {2,4,6} ist und das Ereignis "Primzahl" die Menge {2} ist. Wahrscheinlichkeit ist dann \(\frac{|\{2\}|}{|\{2,4,6\}|} = \frac{1}{3}\).
Man kann die Aufgabe aber auch mittels bedingter Wahrscheinlichkeit lösen:
Ω: Grundmenge {1,2,3,4,5,6}
G: Die gewürfelte Zahl ist gerade {2,4,6}
R: Die gewürfelte Zahl ist Primzahl {2,3,5}
\(\begin{aligned}P(R | G) =\,& \frac{P(R\cap G)}{P(G)} \\=\,& \frac{\frac{|\{2,3,5\}\cap\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}}{\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}} \\=\,& \frac{|\{2,3,5\}\cap\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} : \frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} \\=\,& \frac{|\{2,3,5\}\cap\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} \cdot \frac{|\{1,2,3,4,5,6\}|}{|\{2,4,6\}|} \\=\,& \frac{|\{2,3,5\}\cap\{2,4,6\}|}{|\{2,4,6\}|} \\=\,& \frac{|\{2\}|}{|\{2,4,6\}|} \\=\,& \frac{1}{3}\end{aligned}\)
Man bekommt nicht nur das gleiche Ergebnis, sondern letztendlich teilt man auch die Anzahlen der gleichen Mengen.
P(R ∩ G) sorgt dafür, dass nicht nur das gewünschte Ereignis eingetreten ist, sondern auch die Bedingung erfüllt ist.
Die Division durch P(G) sorgt dann sozusagen dafür, dass die Bedingung G als neue Grundmenge betrachtet wird.
