Basis bestimmen von einem Untervektorraum

Question

Aufgabe:

Ich habe den Untervektorrum U = {(x₁,x_2,x_3,x₄) ∈ ℝ⁴ | x1 + 2*x2 = x3 + 2*x4} gegeben. Nun soll ich eine Basis davon angeben.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich für eine Basis linear unabhängige Vektoren brauche. Die Dimension des ℝ^4 ist 4 und da die in meiner gleichung alle benötigt werden, brauche ich auch 4 Vektoren. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich auf diese kommen soll. Ich könnte raten und dann jedes mal feststellen, das sie irgendwie abhängig voneinander sind, oder gibt's da einen Trick zum guten Raten?

Alternativ kann man sicherlich auch die gegebene Gleichung benutzen. Nur wie?

Vielen Dank für Deine Hilfe!

Answer 1

Hallo

 du willst eine Basis des UVR, da eine Bedingung für die Vektoren gegeben ist ist der nur 3d.

also kannst du Werte für xi vorgeben, die die Gl erfüllen, also z-B. x1=x2=0 folgt x3=-2x4 also gehört der Vektor (0,0,-2,1) in deinen UVR jetzt x1=x3=0 folgt....

 auf die Weise 3 linear unabhängige Vektoren bestimmen und du bist fertig. (natürlich kann man auch mit anderen Angaben als den =0 anfangen, aber das ist meist das einfachste. )

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort. Jetzt wo ich es sehe erscheint es mir ziemlich trivial. Nur verstehe ich nicht, wieso der UVR nur 3d sein soll. Könntest du mir das noch erklärern?

Vielen Dank aber auf jeden Fall schon mal!

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Hallo

 3d weil es ja eine Bedingung an die Vektoren gibt, so kannst du leicht sehen, dass etwa (1,0,0,0) nicht in diesem UR liegt. Wenn man ganz R^4 meint spricht man auch nicht von Unterraum, dafür könntest du ja sonst einfach die Standardbasis nehmen.

Gruß lul

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Verstehe ich es richtig, dass man quasi die Anzahl der Bedingungen von der Dimensions des Oberraums abzieht? Hier 4 - 1 = 3

Hätte ich also 2 nicht äquivalente Bedingungen für meinen UVR, dann wäre die Dimension 2?

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Habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe.

Kann ich nicht einfach \( x_1 + 2x_2 = x_3 + 2x_4 \) nach einer Variablen umstellen z.B. \( x_1 \), d.h.  \( x_1 = - 2x_2 + x_3 + 2x_4 \) und dann den UVR entsprechend parametrisieren? Also

\( U = \lbrace{\alpha_1 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \alpha_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \alpha_3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}    | \alpha_1, \alpha_2 , \alpha_3 \in \mathbb{R} \rbrace} \)

Muss ich dann noch zeigen, dass die lin. unabhängig sind?