Wann sind lineare Abbildungen mit Matrizen injektiv, surjektiv?

Question

Aufgabe:

Ich weiß leider nicht ganz, wann lineare Abbildungen injektiv oder injektiv sind. Beispiel:

$$\text { Sei } \varphi : \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } : ( x , y , z ) ^ { T } \mapsto ( x + 2 y + 3 z , x - z ) ^ { T }$$

Als rg(phi) hab ich 2 raus und für dim(ker(phi)) nach dem Dimensionssatz 1. Wie bestimme ich nun, ob das ganze auch noch injektiv oder surjektiv ist?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo

 surjektiv  weil ganz R^2 erreicht wird.  nicht injektiv, weil du leicht 2  verschiedene Vektoren aus R^3 findest, die auf den selben Vektor abgebildet werden.

Gruß lul

Answer 2

Injektiv: Berechne den Kern der Matrix und schau ob der Nullvektor als Ergebnis rauskommt
Wenn ja, dann injektiv. Wenn nein, nicht.

Surjektiv: Berechne die Basis der Matrix und schau ob die Dimension der Basis mit der Dimension des Raumes übereinstimmt.
Wenn ja, surjektiv. Wenn nein, nicht.

Achja , wenn sie linear abhängig sind , dann ist die Abbildung auch nicht injektiv.