Analyse einer Parabel 3. Ordnung

Question

Aufgabe:

$$f_{t}(x) = tx^3-3x^2+(t+1)x+2 $$ (wobei t nicht 0 ist) wobei Was ist der gemeinsame Punkt dieser Kurvenschar?

Für welche t hat der Graph der Funktion nur eine einzige Stelle mit horizontaler Tangente?

Die Wendepunkte liegen auf einer Kurve. Was ist deren Funktionsgleichung?

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinen Ansatz ausser beim gemeinsamen Punkt zweimal die Funktion gleichzusetzen, wobei aber t einmal gleich a und einmal gleich b ist.

Weiter leider nicht

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Answer 1

Leider habe ich keinen Ansatz ausser beim gemeinsamen Punkt zweimal die Funktion gleichzusetzen, wobei aber t einmal gleich a und einmal gleich b ist.

Jawoll, das ergibt dann (a-b)x³+(a-b)x=0 oder (a-b)·x·(x²-1)=0 mit den Lösungen x=0, x=1 und x=-1. Für x=0 ergibt sich in jedem Falle f_t(0)=2.Gemeinamer Punkt ist also (0|2).

Für welche t hat der Graph der Funktion nur eine einzige Stelle mit horizontaler Tangente?

1. Ableitung f_t'(x)=3tx²-6x+t+1 und dann x²-2/t·x+(t+1)/3t=0. Die quadratische Gleichung hat genau dann nur eine Lösung, wenn die Wurzel darin 0 ergibt. Dann muss der Radikand -t²-t+3=0 sein. Dies ist für t=(1±√13)/2 der Fall.

Die Wendepunkte liegen auf einer Kurve. Was ist deren Funktionsgleichung?

f_t''(x)=6tx-6 und dann 6tx-6=0 mit der Lösung x=1/t. t=1/x in die urprüngliche Funktionsgleichung eingesetzt:

h(x)=-2x²+x+3 ist die Kurve aller Wendepunkte.

Answer 2

ein gemeinsamer Punkt (also unabhängig vom Parameter t) existiert für die triviale Lösung x=0.
Du setzt (\t_1\) mit \(t_2\) gleich:
\(t_1x^3-3x^2+(t_1+1)x+2=t_2x^3-3x^2+(t_2+1)x+2 \Longleftrightarrow (t_1 - t_2) (x^3 + x) = 0\)

Nach dem Satz vom Nullsprodukt ist ein Produkt genau dann null, wenn einer seiner beiden Faktoren null ist. Also muss gelten \(x^3+x=0 \Rightarrow x_0=0\)

Du könntest auch konkrete Werte für t einsetzen, das Prinzip ist immer das selbe.

Es ergibt sich \(f_t(0)=t\cdot 0^3-3\cdot 0^2 (t+1)\cdot 0 +2=2\). Somit lautet der gemeinsame Punkt \(P(0|2)\).

Horizontale Tangente bedeutet, dass die Steigung dort null ist.


Bestimmen wir die 1. Ableitung, erhalten wir \(f_t'(x)=3 t x^2 + t - 6 x + 1\)

Nun würden wir die Ableitung nullsetzen, wobei wir die Ergebnisse
\(x_1= \dfrac{3-\sqrt{3}\sqrt{-t^2-t+3}}{3t}\\ x_2= \dfrac{3+\sqrt{3}\sqrt{-t^2-t+3}}{3t}\)

für ≠ 0 erhalten.
Damit nun lediglich eine Nullstelle existiert, müssen beide den gleichen Wert haben. Also setzen wir \(x_1\) und \(x_2\) gleich:

\(x_1=x_2 \Rightarrow t_{1,2}=-\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}\)

Für diese beiden t-Werte existiert nur eine horizontale Tangente.

Für die Ortskurve der Wendestellen leiten wir die Funktion 2x ab: \(f_t''(x)=6tx-6\)

Nun setzen wir die 2. Ableitung null: \(6tx-6=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{t}\).
Nun noch in die 3. Ableitung (\(f_t'''(x)=6t\)) einsetzen und prüfen, ob das Ergebnis ungleich null ist: \(6t=0 \Rightarrow t=0\), passt also, da unser t nicht gleich null ist.

Nun setzen wir den erhaltenen Wert der 2. Ableitung in f(x) ein: \(f(\frac{1}{t})=\dfrac{-2}{t^2} + \dfrac{1}{t} + 3\). Dies ist unser y-Wert. Unsere Wendepunkte besitzen die Koordinaten \(W \left( \dfrac{1}{t};\dfrac{-2}{t^2} + \dfrac{1}{t} + 3\right)\).

Nun stellen wir die x-Koordinate nach t um: \(t=\dfrac{1}{x}\) und setzen diesen Wert in die y-Koordinate ein:

\(y=-2 x^2 + x + 3\) Dies ist unsere Ortskurve.