Grenzwerte berechnen \( \lim\limits_{x\to0+} \) \( \sqrt{x} \) * ln(x)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert von 
\( \lim\limits_{x\to0+} \) \( \sqrt{x} \) * ln(x)

Lösung:
Der Grenzwert ist vom Typ 0 * ∞. Er kann in den Typ \( \frac{∞}{∞} \) überführt werden, womit L'Hospital anwendbar ist.
\( \lim\limits_{x\to0+} \) \( \frac{ln(x)}{x^-{\frac{1}{2}}} \)  = \( \lim\limits_{x\to0+} \) \( \frac{1/x}{-\frac{1}{2}x^-{\frac{3}{2}}} \)  = \( \lim\limits_{x\to0+} \) \( \frac{-2}{{x^-{\frac{1}{2}}}} \) = \( \lim\limits_{x\to0+} \) -2\( x^{{\frac{1}{2}}} \) = 0

Problem/Ansatz:

Der Grenzwert von ln(x) ist doch -∞. Wieso wird das hier einfach ignoriert ?
Ich verstehe die Überführung von 0 * ∞ zu \( \frac{∞}{∞} \). Aber nach meinem Verständnis wäre es eigentlich  0 * -∞ was zu \( \frac{-∞}{∞} \) überführt werden kann. Dann ist aber die Regel von Hospital gar nicht anwendbar. Diese ist ja nur bei  \( \frac{0}{0} \) und \( \frac{∞}{∞} \)

Answer 1

Wenn man den Faktor -1 ausklammert und nur den Restterm betrachtet, hat man dort den Fall 0*∞.

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Die -1 wird dann also einfach ausgeklammert und nicht mehr beachtet. Dann klammere ich immer wenn ich  \( \frac{-∞}{∞} \) erhalte, die -1 aus damit ich L'Hospital anwenden darf ?

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Nein, musst du nicht. Das war eher die Begründung dafür., dass man L'Hospital auch bei ∞/-∞ anwenden kann.

Aber eigentlich steckt das auch schon im Fall 0*∞ drin. Man kann sich ja an die 0 sowohl aus positiver als auch aus negativer Richtung annähern. Wenn du 0*(-∞) in -0*∞ umschreibst, hast du diesen sowieso erlaubten Fall.