Vollständige Induktion Ableitung

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für f(x) = x²*e^x gilt: f⁽ⁿ⁾(x) = (x²+2nx+n(n-1))e^x.

Problem/Ansatz:

ich weiß leider nicht wie ich nach dem Induktionsanfang weiter komme, habe für n=1 folgendes raus:f¹(x) = 2x*e^x+e^x *x²  bzw. = (2x+x²)e^x

Wie genau gehe ich jetzt weiter vor?

Answer 1

ich habe auch mal was sowas gemacht und das meinen Lehrer gefragt und der meinte, dass man das in dem Fall so machen kann, dass man die "n+1"te Ableitung bildet und man dann dies ableitet und die n-te Ableitung zu erhalten. Ergo, du setzt für "n" "n+1" ein.

Wenn du dann das gegebene Ergebnis hast, stimmt die Aussage.

Gruß

Smitty

Answer 2

Leite die Formel für f⁽ⁿ⁾(x) =(x²+2nx+n(n-1))e^x aus der Induktionsvoraussetzung erneut ab (natürlich wieder mit Produktregel) und zeige, das die dabei erhaltene Ableitung genau die selbe Form hat wie

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = (x²+2(n+1)x+(n+1)((n+1)-1))e^x.