Vollständige Induktion Ableitung beweisen

Question

Komme bei folgender Aufgabe nicht weiter, weil ich nicht verstehe, was mit den Punkten gemeint ist.

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Funktion
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \operatorname{mit} f(x)=(x+1)(x+1) \cdots(x+n) \)
für \( n=1,2,3 \ldots \) die Ableitungen in \( x=0 \)
\( f^{(n)}(0)=n !\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \text { gilt. } \)

Comments

Bevor ich mir den Kopf zerbreche, mal die Rückfrage: Die Funktion f hängt von n ab, sollte sie nicht einen Index haben, also etwa \(f_n\)?. Ist es richtig, dass der Faktor (x+1) 2-mal auftritt?

Gruß

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Also in der Aufgabe steht es genau so, wie oben in der Frage, also ohne Index und (x+1) kommt zwei Mal vor.

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Hallo,

ich habe nochmal auf Deine Frage geschaut: Mit den Punkten ist eigentlich eine sinngemäße Fortsetzung gemeint, also zum Beispiel:

1+1/2 ... +1/n=1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n-1)+1/n

Bei der Formulierung von f ist das nicht ganz eindeutig, weil eben die 1 zweimal auftritt.

Für mich macht das ganze nur Sinn, wenn nur ein Faktor (1+x) auftaucht und nicht nahc der Ableitung \(f^{(n)}\) sondern nach der ersten Ableitung gefragt ist.

Dann ist es allerdings einfach.

Gruß

Answer 1

Für n = 1 gilt also vermutlich

f(x) = (x + 1)^2
f'(x) = 2·(x + 1) bzw. f'(0) = 2

für n = 2

f(x) = (x + 1)^2·(x + 2) = x^3 + 4·x^2 + 5·x + 2
f'(x) = 3·x^2 + 8·x + 5 bzw. f'(0) = 5

Das wäre aber nicht das, was ich jetzt erwarte. Wo ist mein Fehler?