Matrix A mal Vektor v injektiv, bzw surjektiv?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie ob die Abbildung f: ℝ^3 - > ℝ^3 : v -> A * v injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

A = \( \begin{pmatrix} 5 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

v = (4, 0, 1 )^T

Problem/Ansatz:

Ich weiß , dass gilt, wenn Kern einer Abbildung 0 ist, dann ist die Abbildung injektiv und wenn dim Bildmenge = dim Matrix, dann ist sie surjektiv. Aber mir gelingt es gerade nicht, dass hier anzuwenden, da es sich hier ja um eine Multiplikation handelt. Ich bräuchte vielleicht einen kleinen Denkanstoss, womöglich hab ich gerade einen Denkfehler.

Comments

Die Matrix ist deine Abbildung. Wende doch das Gauss-Jordan verfahren für deine Matrix an und schaue dann ob der Ganze R^3^getroffen wird, sprich deine Matrix vollen Rang hat. Das müsste eigentlich reichen, da bei vollem Rang die Dimension des Kerns = 0  ist und die Abbildung bijektiv wäre.

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und was bedeutet das für den Vektor v? Es ist ja A * v
Ich dachte dass würde nur so funktionieren, wenn nur A dort stehen würde

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A* v ist ja ansich eine Abbildung. Dein Vektor  hat die Dimension 3. Schaue was die Matrix mit deinem Vektor macht. Hättest du z.b eine 0 Zeile wird durch die Multiplikation mit dem Vektor nicht mehr alles im R^3 erreicht.

Answer 1

Hallo

die Frage ob v->A*v injektiv und oder surjektiv ist, hast du richtig beantwortet. dabei gibt es aber kein bestimmtes v.  vielleicht ist das v für nen anderen Teil der Aufgabe?

Gruß lul

Comments

Also in der Aufgabe steht dies 1:1 so drin . 
Eine Abbildung von v auf A*v