Beweis M:={3^k, k∈ℤ} mit Multiplikation ist Gruppe

Question

ich habe eine Frage zum Gruppenbeweis.

Aufgabe:

Zu zeigen: M:={3^k, k∈ℤ} bildet mit der üblichen Multiplikation eine abelsche Gruppe.

Ansatz:

Intuitiv würde ich bei der Abgeschlossenheit folgendermaßen vorgehen:
Seien A,B ∈M beliebig mit A:= 3^a und B:=3^b,  a,b ∈ℤ
A*B = 3^a * 3^b = 3^(a+b)  ∈ M, da Addition zweier Zahlen aus ℤ wieder eine Zahl aus ℤ ergibt.

Darf man das so machen, dass man die Potenzen addiert? Letztendlich ist sind die Potenzgesetze ja eine Eigenschaft von Gruppen, und an diesem Punkt weiß ich ja eigentlich noch nicht, dass eine Gruppe vorliegt

Danke für Antworten!

Answer 1

Na ja, den Ansatz finde ich gut und zielführend. Die Abbildung$$\log_3(\,):\left(\text{M},*\right)\rightarrow\left(\mathbb{Z},+\right)$$ist der von dir beschriebene Gruppenisormorphismus. Daher kannst du das, was du zeigen möchtest, in \(\left(\mathbb{Z},+\right)\) statt in \(\left(\text{M},*\right)\) zeigen.

Comments

Danke für die Antwort.

Gruppenisomorphismus hatte ich bisher noch nicht.. Heißt das also, ich kann meinen Ansatz so nicht für (M, *) nehmen?

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Doch, der Ansatz ist ist gut und du kannst ihn verwenden.